最大・最小の応用

「いちばん」を計算で探す

例1 ：1辺12cmの正方形の紙の四隅から、1辺 x の正方形を切り取って折り曲げ、ふたのない箱を作る。容積を最大にする x は？

手順1（変数）：切り取る1辺を x とする。

手順2（関数）：底面は1辺 12 − 2x の正方形、高さ x。容積は——

\[V(x) = x(12 - 2x)^2\]

手順3（定義域）：紙からはみ出せない。0 ＜ x ＜ 6。現実の制約が定義域になる——ここを飛ばすと事故が起きる。

手順4（微分）：展開して V ＝ 4x³ − 48x² ＋ 144x。V′ ＝ 12x² − 96x ＋ 144 ＝ 12(x − 2)(x − 6)。

手順5（増減）：定義域内で V′ ＝ 0 となるのは x ＝ 2 だけ。その前で＋、後で−——x ＝ 2 で極大かつ最大。

\[V(2) = 2 \times 8^2 = 128 \text{ cm}^3\]

検算：近くの値で確認。V(1) ＝ 100、V(3) ＝ 108——どちらも128より小さい ✓

折り紙の工作が、3次関数の極値問題だった。世界を関数に翻訳できれば、微分が最適解をくれる。

曲線上の点との距離

例2 ：放物線 y ＝ x² 上の点で、点 (0, 1) にいちばん近い点は？

点 (x, x²) との距離の2乗（ルートは単調だから2乗のまま最小化してよい——計算がぐっと楽になる定石）：

\[L(x) = x^2 + (x^2 - 1)^2 = x^4 - x^2 + 1\]

L′ ＝ 4x³ − 2x ＝ 2x(2x² − 1) ＝ 0 → x ＝ 0、±1/√2。増減を調べると x ＝ ±1/√2 で最小。最近点は (±1/√2, 1/2)、そのときの距離は √(3)/2。

eが顔を出す最適化

例3 ：f(x) ＝ log x / x（x ＞ 0）が最大になる x は？

商の微分：f′ ＝ (1 − log x)/x²。f′ ＝ 0 ⇔ log x ＝ 1 ⇔ x ＝ e。

「xのx乗根 x^(1/x) が最大になる自然数は？」という遊びの問いの答えが 3（eにいちばん近い整数）になるのは、この計算のおかげ。成長の定数eは、最適化の世界にもふらりと現れる。

よくあるまちがい

その1：定義域を忘れる。 例1で x ＝ 6 も V′ ＝ 0 の解だが、そこでは底面が消えて箱にならない（V ＝ 0）。式の世界の解と現実の解のずれは、定義域が教えてくれる。

その2：極値＝最大と即断。 定義域が閉区間なら端も候補（A4の教訓）。開区間でも、極値が複数あれば比較が要る。増減表を最後まで書く習慣が身を守る。

れんしゅう

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。

あたらしい もんだいを つくる