ステップ A5-2-1
積・商・合成関数の微分
この ページで まなぶ こと
- 積の微分 (fg)′ ＝ f′g ＋ fg′ と商の微分をつかえるようになる
- 合成関数の微分（連鎖律）をつかえるようになる
(fg)′ ＝ f′g ＋ fg′（一方ずつ微分してたす）。(f/g)′ ＝ (f′g − fg′)/g²。合成関数は「外の微分 × 中の微分」——連鎖律がいちばんの働き者。
積の微分 — 「一方ずつ」の法則
(fg)′ ＝ f′g′ ……であってほしいが、世界はそう甘くない。x² ＝ x・x で試すと、f′g′ ＝ 1・1 ＝ 1。でも (x²)′ ＝ 2x。不一致！ 正しい規則は——
\[(fg)' = f'g + fg'\]片方ずつ微分して、たす。証明は定義に戻ればできる：f(x＋h)g(x＋h) − f(x)g(x) に f(x)g(x＋h) を引いてたす（ずらして引く——等比数列の和以来の常套手段！）と、2つの平均変化率に分かれて、極限がこの形になる。
例1 ：(x・x)′ ＝ 1・x ＋ x・1 ＝ 2x ✓ 今度は合った。
例2 ：y ＝ x² sin x の微分：y′ ＝ 2x sin x ＋ x² cos x（sin の微分は次ステップで出るが、先取りして cos だ）。
商の微分はこの応用で——
\[\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}\]分子は「上から先に、引く」。順序を逆にすると符号が逆転するので注意。
連鎖律 — 合成は「外×中」
y ＝ (x² ＋ 1)³ を微分したい。展開すれば6次式で微分できるが、面倒だ。ここで最強の規則——合成関数の微分（連鎖律）：
\[\{f(g(x))\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]外側を微分（中身はそのまま）× 中身を微分。
例3 ：y ＝ (x² ＋ 1)³。外は「3乗」→ 3(中身)²、中は x² ＋ 1 → 2x。
\[y' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2\]検算：x ＝ 1 で数値確認。h ＝ 0.001 として ((1.001² ＋ 1)³ − 8)/0.001 ≒ 24.02。公式では 6・1・4 ＝ 24 ✓
なぜ「掛ける」のか。中身が2倍の速さで変わり、外側がその3倍の速さで反応するなら、全体は 2 × 3 ＝ 6倍の速さで変わる——変化率のリレーは掛け算でつながる。
例4 ：y ＝ sin 3x。外は sin → cos（中身そのまま）、中は 3x → 3。y′ ＝ 3cos 3x。
例5 ：y ＝ 1/(x² ＋ 1) ＝ (x² ＋ 1)⁻¹。負の指数（A2）でも規則は同じ：y′ ＝ −(x² ＋ 1)⁻²・2x ＝ −2x/(x² ＋ 1)²。商の公式を使わずに済んだ——連鎖律は商もカバーする万能選手だ。
よくあるまちがい
その1：(fg)′ ＝ f′g′。 いちばん有名な誤り。x・x の反例をポケットに入れておこう。一方ずつ、たす。
その2：連鎖律の「中身の微分」を忘れる。 (sin 3x)′ ＝ cos 3x で止めるミス。外を微分したら、中身の微分を掛け忘れない——しっぽの ×3 まで。
れんしゅう
(fg)′ ＝ ？
y ＝ (x² ＋ 1)³ の y′ ＝ □x(x² ＋ 1)²。□は？
y ＝ sin 3x の y′ ＝ □cos 3x。□は？
y ＝ x sin x の y′ ＝ sin x ＋ x □。□に入るのは？
y ＝ (2x ＋ 1)⁴ の y′ ＝ □(2x ＋ 1)³。□は？
y ＝ (x³ ＋ 1)² の y′ ＝ □x²(x³ ＋ 1)。□は？
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！