三角・指数・対数関数の微分と数e

sin の微分 — 名極限の出番

(sin x)′ を定義から計算しよう。加法定理（A2）で sin(x ＋ h) を開くと——

\[\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}\]

h → 0 で、sin h/h → 1（前たんげんの名極限！）、(cos h − 1)/h → 0（同じはさみうちから出る）。よって——

\[(\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x\]

sinの傾きを追いかけるとcosになる。波の頂上（傾き0）でcosは0、波の上り坂が最も急な x ＝ 0 でcosは最大値1——グラフを重ねると、たしかに傾きの記録になっている ✓ ラジアンで角を測った報酬が、この美しさだ。

数 e — 微分が生んだ定数

指数関数 aˣ の微分を定義から書くと——

\[(a^x)' = a^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}\]

aˣ 自身に「定数」が掛かる形。ならば、その定数がちょうど1になる底があれば、微分がいちばん美しくなる。その底が——

\[e = 2.71828\cdots\]

ネイピア数という無理数だ。定義から即座に——

\[(e^x)' = e^x\]

微分しても変わらない関数。「増える速さが、今の量そのもの」——細菌の増殖・複利・放射性崩壊（A2）の微分方程式が、すべて e で書かれる理由がこれだ。円周率πが「円の定数」なら、e は「成長の定数」だよ。

底eの対数 logₑx を自然対数といい、ただ log x（または ln x）と書く。逆関数の関係から——

\[(\log x)' = \frac{1}{x}\]

xⁿ の微分では決して現れなかった「1/x を微分で作る関数」が、ついに見つかった（この事実は積分（次々たんげん）で効いてくる）。

例1 ：y ＝ e³ˣ の微分。連鎖律で y′ ＝ e³ˣ × 3 ＝ 3e³ˣ。

例2 ：y ＝ x eˣ の微分。積の法則で y′ ＝ eˣ ＋ x eˣ ＝ (1 ＋ x)eˣ。

例3 ：y ＝ log(x² ＋ 1)。連鎖律：y′ ＝ 1/(x² ＋ 1) × 2x ＝ 2x/(x² ＋ 1)。

微分の道具箱、完成

関数	導関数
xⁿ	nxⁿ⁻¹
sin x	cos x
cos x	−sin x
eˣ	eˣ
log x	1/x

この表と3つの規則（積・商・連鎖律）で、この先出会うほとんどの関数が微分できる。道具箱は完成した——次のたんげんから、これで何ができるかを見にいく。

よくあるまちがい

その1：(cos x)′ の符号。 cos の微分にはマイナスがつく：−sin x。cosの波は x ＝ 0 の直後に下り始める（傾きが負）——グラフで確認すれば忘れない。

その2：eˣ と xⁿ の混同。 (eˣ)′ ＝ x eˣ⁻¹ は誤り。xⁿ の規則は底が変数のとき。eˣ は指数が変数——規則がまるで違う。(eˣ)′ ＝ eˣ、それだけだ。

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