2曲線の間の面積

「上ひく下」を積み上げる

曲線 y ＝ f(x)（上）と y ＝ g(x)（下）にはさまれた部分の面積は、細い短冊で考えると、1枚の高さが f(x) − g(x)。積み上げて——

\[S = \int_a^b \{f(x) - g(x)\}\, dx\]

x軸との間の面積（A4）は、g(x) ＝ 0 という特別な場合だったのだ。

例1 ：y ＝ x と y ＝ x² の間の面積は？

手順1（交点）：x ＝ x² を解く。x² − x ＝ 0 → x ＝ 0、1。

手順2（上下）：間の点 x ＝ 0.5 で比較。直線 0.5 ＞ 放物線 0.25——直線が上。

手順3（積分）：

\[S = \int_0^1 (x - x^2)\, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\]

検算：この領域は1辺1の正方形の中にすっぽり入る小さな三日月形。1/6 ≒ 0.17——見た目と合う ✓

例2 ：y ＝ x² − 4 と x軸で囲まれた面積は？

交点は x ＝ ±2。この区間では放物線がx軸の下（上 ＝ 0、下 ＝ x² − 4）だから——

\[S = \int_{-2}^2 \{0 - (x^2 - 4)\}\, dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2 = \frac{32}{3}\]

「軸の下だから負」の罠（A4）も、上−下の型に当てはめれば自動で正しく処理される。

例3 ：y ＝ sin x と y ＝ 0（0 ≦ x ≦ π）の面積：∫₀^π sin x dx ＝ [−cos x]₀^π ＝ 1 ＋ 1 ＝ 2。波の1山の面積が、ちょうど2——三角関数の積分（前たんげん）の最初のご褒美だ。

放物線と直線の1/6公式

例1のような「放物線と直線」の面積は、交点を α、β として——

\[S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3 \qquad （aはx^2の係数）\]

例1で確認：a ＝ −1（x − x² ＝ −(x² − x)）、β − α ＝ 1。S ＝ 1/6 ✓ 展開・積分を毎回やらずに済む、検算にも便利な近道だ（導出は (x − α)(x − β) の積分を計算するだけ——一度は手を動かして確かめてみてね）。

よくあるまちがい

その1：上下を確かめない。 逆に引くと面積が負になる。間の1点を代入して上下を確認——10秒の投資でミスが消える。

その2：交点をまたいで一気に積分。 上下が途中で入れかわる場合（y ＝ x³ と y ＝ x など）は、交点で区間を分けて、区間ごとに上−下を組み直す。

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