回転体の体積

体積は「断面の積み重ね」

食パンをスライスして考えよう。1枚の体積 ≒ 断面積 × 厚み。全部たして厚みを0に近づければ——

\[V = \int_a^b S(x)\, dx \qquad （S(x) は位置xでの断面積）\]

面積が「高さの積み重ね」だったように、体積は「断面積の積み重ね」。次元がひとつ上がっただけで、思想は同じだ。

回転体 — 断面はいつも円

曲線 y ＝ f(x) をx軸のまわりにくるりと回すと、立体ができる。位置 x での断面は半径 y の円、面積は πy²。よって——

\[V = \pi \int_a^b y^2\, dx = \pi \int_a^b \{f(x)\}^2\, dx\]

例1（円錐） ：直線 y ＝ x（0 ≦ x ≦ h…ではなく具体的に 0 ≦ x ≦ 3）を回すと、底面の半径3・高さ3の円錐。

\[V = \pi \int_0^3 x^2\, dx = \pi \cdot \frac{27}{3} = 9\pi\]

公式（G2）でも (1/3)π・3²・3 ＝ 9π ✓ 「錐は柱の1/3」——お告げだった 1/3 の正体は、x² を積分すると x³/3 になることだったのだ。

例2（球） ：半径 r の球は、半円 y ＝ √(r² − x²)（−r ≦ x ≦ r）の回転体。y² ＝ r² − x² だから——

\[V = \pi \int_{-r}^r (r^2 - x^2)\, dx = \pi \left[r^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_{-r}^r = \pi\left(\frac{2r^3}{3} + \frac{2r^3}{3}\right) = \frac{4}{3}\pi r^3\]

球の体積公式が、証明された。 G2で「そういうものだ」と受け取った (4/3)πr³ に、数学ハイウェイの長い道のりがようやく「なぜ」を返せた——学びが一周してつながる瞬間だ。

例3 ：y ＝ √x（0 ≦ x ≦ 4）の回転体：V ＝ π∫₀⁴ x dx ＝ π・8 ＝ 8π。y² ＝ x のおかげで、ルートが積分の中で消える——回転体で √ 曲線が好まれる理由だよ。

よくあるまちがい

その1：y² にし忘れる。 V ＝ π∫y dx は誤り。断面積は π ×（半径）²。円の面積公式のとおり。

その2：πの掛け忘れ。 最後に答えを見て「πがない体積」だったら要注意。回転体は断面が円——πは必ず現れる。

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