いろいろな関数の不定積分と置換積分

微分の表を逆から読む

積分は微分の逆（A4）。ならば、微分の道具箱（前たんげん）を逆向きに読めば、積分の表がただで手に入る。

微分	→ 積分
(sin x)′ ＝ cos x	∫cos x dx ＝ sin x ＋ C
(cos x)′ ＝ −sin x	∫sin x dx ＝ −cos x ＋ C
(eˣ)′ ＝ eˣ	∫eˣ dx ＝ eˣ ＋ C
(log x)′ ＝ 1/x	∫(1/x) dx ＝ log｜x｜ ＋ C

最後の行に注目。∫xⁿ dx ＝ xⁿ⁺¹/(n ＋ 1) の公式は n ＝ −1 だけ使えなかった（0でわることになる）。その唯一の空白を、対数がぴったり埋める。関数の表の中で、log は「1/x の積分」という席が最初から用意されていたんだ。

検算はつねに微分：(−cos x)′ ＝ sin x ✓

例1 ：∫(2cos x − 3eˣ) dx ＝ 2sin x − 3eˣ ＋ C。

例2（中身が一次式） ：∫cos 3x dx ＝ ？

sin 3x を微分すると 3cos 3x（連鎖律で3が降りてくる）。3が余計だから、あらかじめ 1/3 を掛けておく——

\[\int \cos 3x\, dx = \frac{1}{3}\sin 3x + C\]

中身が ax ＋ b なら、係数 a でわる。∫e²ˣdx ＝ e²ˣ/2 ＋ C、∫(2x ＋ 1)⁴dx ＝ (2x ＋ 1)⁵/10 ＋ C。

置換積分 — 連鎖律の逆再生

もっと複雑な合成は、中身を新しい文字に置く。

例3 ：∫2x(x² ＋ 1)³ dx を求めよう。

t ＝ x² ＋ 1 と置くと、dt/dx ＝ 2x、つまり dt ＝ 2x dx。式の中の「2x dx」がまるごと dt に化ける——

\[\int (x^2 + 1)^3 \cdot 2x\, dx = \int t^3\, dt = \frac{t^4}{4} + C = \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C\]

検算：微分すると連鎖律で 4(x²＋1)³・2x/4 ＝ 2x(x²＋1)³ ✓ 置換積分は連鎖律を逆向きに歩く技だ。

コツは「中身の微分が、外に掛かっているか」を探すこと。x² ＋ 1 の微分 2x が隣にいたから、この置換は成功した。

例4 ：∫sin²x cos x dx。t ＝ sin x と置くと dt ＝ cos x dx。∫t² dt ＝ t³/3 ＋ C ＝ sin³x/3 ＋ C。

よくあるまちがい

その1：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C。 符号ミスの定番。微分で検算すれば即発見：(cos x)′ ＝ −sin x で合わない。正しくは −cos x ＋ C。

その2：係数でわるのを忘れる。 ∫e²ˣdx ＝ e²ˣ ＋ C は誤り（微分すると2倍出てくる）。中身の係数2でわって e²ˣ/2 ＋ C。

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