部分積分 — 積の微分の逆再生

積の微分を移項すると

x eˣ のような積の形は、置換では歯が立たない。頼るのは、積の微分法則の逆再生だ。

(fg)′ ＝ f′g ＋ fg′ の両辺を積分して移項すると——

\[\int f'g\, dx = fg - \int fg'\, dx\]

部分積分という。読み方：「f′g の積分は、（fを積分して）fg、引く、（gを微分して）fg′ の積分」。左の積分が難しくても、右の積分がやさしくなれば勝ちだ。

つかってみる

例1 ：∫x eˣ dx を求めよう。

eˣ を「積分する側」（f′ ＝ eˣ → f ＝ eˣ）、x を「微分する側」（g ＝ x → g′ ＝ 1）に選ぶ：

\[\int e^x \cdot x\, dx = e^x \cdot x - \int e^x \cdot 1\, dx = x e^x - e^x + C\]

検算：微分すると (eˣ ＋ x eˣ) − eˣ ＝ x eˣ ✓

なぜこの役割分担か？ x は微分すると1になって消えるから。残った積分 ∫eˣdx は一撃だ。「微分して簡単になるほうを微分係に」——部分積分の作戦のすべてがこの一言にある。

例2 ：∫x cos x dx。cos x を積分係（→ sin x）、x を微分係に：

\[= x\sin x - \int \sin x\, dx = x\sin x + \cos x + C\]

例3（名作） ：∫log x dx ＝ ？

積に見えないが、1 × log x と読む。1を積分係（→ x）、log x を微分係（→ 1/x）に：

\[\int 1 \cdot \log x\, dx = x\log x - \int x \cdot \frac{1}{x}\, dx = x\log x - x + C\]

「積分できない顔」をした log x が、見えない1との部分積分で陥落した。

例4（定積分でも同じ） ：∫₀¹ x eˣ dx ＝ [x eˣ − eˣ]₀¹ ＝ (e − e) − (0 − 1) ＝ 1。きれいな整数になった——eの計算はときどき、こういうご褒美をくれる。

積分は「技の選択」のゲーム

微分は規則を機械的に適用すれば必ず終わる。積分はちがう——どの技を選ぶかの判断がいる。

• 合成の形で、中身の微分が隣にいる → 置換積分
• 異種の関数の積（x×eˣ、x×cos x、log x） → 部分積分
• ただの和・定数倍 → 表を逆読み

この「見立て」の練習こそが積分の学習だ。そして実は、初等関数の組み合わせでは積分できない関数もある（e^(−x²) が有名——のちに正規分布で主役になるのに！）。微分と積分の非対称性は、数学の奥行きそのものだよ。

よくあるまちがい

その1：役割分担を逆にする。 例1で x を積分係にすると ∫(x²/2)eˣdx が残って難化する。うまくいかなければ、分担を入れかえてやり直せばいい——それも正しい手順のうちだ。

その2：符号の脱落。 fg − ∫fg′。マイナスを落とすと例2の cos の符号がずれる。検算（微分）が最後の砦。

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