ステップ A5-6-1

媒介変数表示

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x ＝ f(t)、y ＝ g(t) で「時刻 t の点の位置」として曲線を描くのが媒介変数表示。円は x ＝ cos t、y ＝ sin t。接線の傾きは dy/dx ＝ (dy/dt)/(dx/dt)——速度の比。

円 x² ＋ y² ＝ 1 を y ＝ … の形にすると ±√(1 − x²) と2本に割れて扱いにくい。発想を変えよう——円は「ぐるぐる回る点の軌跡」だ。時刻 t に点がどこにいるかを言えばいい：

\[x = \cos t, \qquad y = \sin t\]

t を 0 から 2π まで動かすと、点は単位円を1周する（単位円の定義そのもの——A2）。この t を媒介変数（パラメータ）という。「曲線＝方程式」から「曲線＝ 運動の記録」への視点の転換だ。

例1 ：x ＝ 2cos t、y ＝ 2sin t は半径2の円。x ＝ cos t、y ＝ sin 2t なら——リサージュ曲線という8の字。tを消すのが難しい曲線も、媒介変数なら自在に描ける。

例2（放物運動） ：ボールを斜めに投げると、x ＝ 20t（等速）、y ＝ 20t − 5t²（重力で減速）。tを消去すると y ＝ x − x²/80——放物線。「放物線」という名前の由来が、まさにこれだ。

接線の傾き dy/dx がほしい。tで動く点の横の速さが dx/dt、たての速さが dy/dt。傾きは「たての進み ÷ 横の進み」だから——

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\]

（連鎖律から正当化できる。分数のように「dtを約分」する形で覚えていい——ライプニッツの記法のうまさだ。）

例3 ：円 x ＝ cos t、y ＝ sin t の t ＝ π/4 での接線の傾きは？

dx/dt ＝ −sin t、dy/dt ＝ cos t。

\[\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\frac{1}{\tan t} \quad\xrightarrow{t = \pi/4}\quad -1\]

検算：t ＝ π/4 の点は (1/√2, 1/√2)。円の接線は半径と垂直（G3）。半径の傾き1に垂直なら傾き −1 ✓ 幾何の定理と微分が同じ答えを出した。

例4 ：x ＝ t²、y ＝ t³ の t ＝ 1 での傾きは (3t²)/(2t) ＝ 3t/2 → 3/2。

その1：dy/dx ＝ (dx/dt)/(dy/dt) と上下逆にする。 傾きは「yの速さ ÷ xの速さ」。「たて÷よこ」の順は、一次関数の傾き（A1）以来ずっと同じだ。

その2：tと(x, y)の混同。 t は舞台裏の時計であって、グラフの軸ではない。「t ＝ π/4 の点」を座標 (π/4, …) と書いたら誤り——座標は (cos π/4, sin π/4) だ。

Q1 きほん

x ＝ cos t、y ＝ sin t が描く曲線は？

Q2 きほん

x ＝ 3cos t、y ＝ 3sin t の円の半径は？

Q3 きほん

dy/dx ＝？

Q4 ふつう

x ＝ t²、y ＝ t³ の t ＝ 1 での dy/dx ＝ 3/□。□は？

Q5 ふつう

x ＝ 2t、y ＝ t² の t ＝ 2 での dy/dx ＝？

Q6 チャレンジ

円 x ＝ cos t、y ＝ sin t の t ＝ π/4 での接線の傾きは？（−1 のように書いてね）

ボタンをおすと、あたらしいもんだいがでてくるよ。なんかいでもれんしゅうできるよ。