ステップ A5-6-2

極座標と極方程式

この ページで まなぶ こと

  • 極座標 (r, θ) と直交座標を変換できるようになる
  • 基本の極方程式（円・直線・渦巻）を読めるようになる

位置を「距離 r と角 θ」で表すのが極座標。変換は x ＝ r cos θ、y ＝ r sin θ、r² ＝ x² ＋ y²。r ＝ 一定は円、θ ＝ 一定は半直線、r ＝ θ は渦巻——回る図形は極座標が得意。

「距離と向き」で場所を言う

「東に3、北に4」が直交座標なら、「あっちの方向に5」が極座標だ。原点（極という）からの距離 r と、x軸正方向からの角 θ のペア (r, θ) で位置を表す。

G6の複素数平面で使った極形式 r(cos θ ＋ i sin θ) の、座標版そのもの。変換式も同じだ：

\[x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta \qquad r^2 = x^2 + y^2, \quad \tan\theta = \frac{y}{x}\]

例1 ：極座標 (2, π/3) の直交座標は？ x ＝ 2cos(π/3) ＝ 1、y ＝ 2sin(π/3) ＝ √3。点 (1, √3)。

例2 ：直交座標 (1, 1) の極座標は？ r ＝ √2、θ ＝ π/4。(√2, π/4)。

極方程式 — rとθの関係で曲線を描く

y ＝ f(x) の代わりに r ＝ f(θ) で曲線を描く。回転や放射がからむ図形で、劇的に式が短くなる。

  • r ＝ 3 ：距離3の点ぜんぶ——円。x² ＋ y² ＝ 9 より短い！
  • θ ＝ π/4 ：向きが45°の点ぜんぶ——原点から伸びる半直線。
  • r ＝ θ ：回るほど遠ざかる——アルキメデスの渦巻。直交座標では書き表すことすら難しい曲線が、2文字で済む。

例3 ：r ＝ 2cos θ はどんな曲線？

両辺に r を掛けると r² ＝ 2r cos θ。変換式で直交座標に戻すと——

\[x^2 + y^2 = 2x \quad\Longrightarrow\quad (x - 1)^2 + y^2 = 1\]

中心 (1, 0)、半径1の円（平方完成——もう何度目だろう）。極座標の1行が、円の方程式に化けた。

例4 ：r ＝ 1 ＋ cos θ はカージオイド（心臓形）。花や貝殻の輪郭のような、自然界の形が極方程式の得意分野だ。

座標系は「選ぶ」もの

同じ円が、直交座標では x² ＋ y² ＝ 9、極座標では r ＝ 3、媒介変数では (3cos t, 3sin t)。どれも正しい。問題の対称性に合わせて座標系を選ぶ——回転対称なら極座標、時間発展なら媒介変数、格子状なら直交座標。

この「うまい座標を選ぶ」感覚は、多変数の微積分（A7）や物理数学で決定的に効いてくる。ハイウェイの次の区間への、静かな伏線だ。

よくあるまちがい

その1：rを負にしたときの混乱。 慣習では (−2, θ) は「θの逆向きに2」。混乱のもとなので、はじめのうちは r ≧ 0 の範囲で考えるのが安全。

その2：θの象限を無視する。 直交 → 極の変換で tan θ ＝ y/x だけ見ると、(1, 1) と (−1, −1) が同じθになってしまう。点がどの象限かを図で確かめてからθを決める（複素数の偏角と同じ注意——G6）。

れんしゅう

Q1 きほん

極座標 (2, π/3) の直交座標のx座標は？

Q2 きほん

そのy座標は √□。□は？

Q3 きほん

極方程式 r ＝ 5 が表す図形は？

Q4 ふつう

直交座標 (1, 1) の極座標の r は √□。□は？

Q5 ふつう

r ＝ θ が表す図形は？

Q6 チャレンジ

r ＝ 2cos θ は中心 (1, 0)、半径□の円。□は？

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。