微分係数 — 瞬間の変化率

「瞬間の速さ」は矛盾か

ボールを落とすと、落ちた距離は時間の2乗に比例する：f(t) ＝ 5t²（メートル、秒）。

「ちょうど1秒の瞬間の速さ」を知りたい。速さ ＝ 距離 ÷ 時間……でも「瞬間」は時間の幅が0。0でわることはできない。詰んだ？

いや——極限という道具が、もう手の中にある。

幅を縮めて、行き先を見る

まず「1秒から (1 ＋ h) 秒まで」の平均の速さ（平均変化率）を計算する：

\[\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{5(1 + h)^2 - 5}{h} = \frac{10h + 5h^2}{h} = 10 + 5h\]

幅 h を縮めていく：h ＝ 0.1 なら 10.5、h ＝ 0.01 なら 10.05、……行き先は明らかに——

\[\lim_{h \to 0} (10 + 5h) = 10\]

瞬間の速さは 秒速10m。0でわる矛盾を、「幅を0に近づけた極限」がすり抜けた。前たんげんの 0/0 をほどく技が、まさにここで本番を迎えている。

一般に、この極限を x ＝ a における微分係数 f′(a) という：

\[f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\]

図で見る — 割線が接線になる

平均変化率は、グラフ上の2点 (a, f(a)) と (a ＋ h, f(a ＋ h)) を結ぶ直線の傾き（A1の変化の割合）。

h を縮めると、2点目が1点目にじわじわ近づき、直線はグラフに接する直線——接線に落ち着く。

\[f'(a) = x = a \text{ での接線の傾き}\]

「瞬間の変化率」と「接線の傾き」——物理の言葉と幾何の言葉が、同じ極限を指している。

例1 ：f(x) ＝ x² の x ＝ 3 での微分係数は？

\[f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{(3 + h)^2 - 9}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{6h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6\]

例2 ：f(x) ＝ x² の x ＝ −1 では？ 同じ計算で f′(−1) ＝ −2。傾きが負——グラフはそこで下り坂だ。左半分で下り、右半分で上る放物線の姿と一致する ✓

よくあるまちがい

その1：h に0を先に代入する。 0/0 になって行き止まり。まず約分、それから h → 0。順序がすべて。

その2：微分係数を「傾きの平均」と思う。 f′(a) は区間の平均ではなく、その1点での瞬間の値。平均変化率（幅あり）の極限（幅なし）——2つの概念の区別が微分の心臓部だ。

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