ステップ A4-2-2
導関数と計算規則
この ページで まなぶ こと
- 導関数の意味がわかり、(xⁿ)′ ＝ nxⁿ⁻¹ をつかえるようになる
- 多項式を項ごとに微分できるようになる
各点の微分係数を関数としてまとめたものが導関数 f′(x)。(xⁿ)′ ＝ nxⁿ⁻¹、定数の微分は0、和と定数倍はバラせる。多項式の微分は機械的にできる。
傾きを「関数」にする
前ステップで f(x) ＝ x² の微分係数を1点ずつ計算した：f′(3) ＝ 6、f′(5) ＝ 10、f′(−1) ＝ −2。……気づいただろうか。ぜんぶ「xの2倍」だ。
一般の x で定義の計算をすると——
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x\]この「各点の傾きを教えてくれる関数」f′(x) を導関数といい、求めることを微分するという。1点ずつの極限計算は、もういらない——傾きの公式が手に入った。
(xⁿ)′ ＝ nxⁿ⁻¹ — 指数が前に降りる
x³ ではどうか。(x ＋ h)³ ＝ x³ ＋ 3x²h ＋ 3xh² ＋ h³（展開——二項定理！）だから——
\[\frac{(x + h)^3 - x^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2 \longrightarrow 3x^2\]x² → 2x、x³ → 3x²、x⁴ → 4x³……規則が見える：
\[(x^n)' = nx^{n-1}\]指数が係数として前に降り、指数はひとつ減る。（一般のnでの証明は二項展開の第2項が 効くから——(x ＋ h)ⁿ ＝ xⁿ ＋ nxⁿ⁻¹h ＋（h²以上の項）。h でわって h → 0 とすれば、生き残るのは nxⁿ⁻¹ だけだ。）
あと2つの規則で多項式は全部微分できる：
- 定数の微分は0（水平な直線の傾きは0）
- 和と定数倍はバラせる：(f ＋ g)′ ＝ f′ ＋ g′、(cf)′ ＝ cf′（極限の性質から）
例1 ：y ＝ x³ − 4x² ＋ 5x − 7 を微分しよう。項ごとに——
\[y' = 3x^2 - 8x + 5\]（−7 は定数なので消える。）
例2 ：y ＝ 2x⁴ の導関数は y′ ＝ 8x³。
例3（接線の方程式） ：y ＝ x² 上の点 (2, 4) での接線は？
傾きは y′ ＝ 2x に x ＝ 2 を入れて 4。点 (2, 4) を通り傾き4の直線（G5の公式！）：y − 4 ＝ 4(x − 2)、つまり y ＝ 4x − 4。
検算：接線は接点を通るはず。x ＝ 2 で y ＝ 4 ✓
よくあるまちがい
その1：指数を減らし忘れる。 (x³)′ ＝ 3x³ は誤り。「前に降りて、ひとつ減る」——3x²。
その2：定数項を残す。 (x² ＋ 5)′ ＝ 2x ＋ 5 は誤り。定数5はグラフを上に持ち上げるだけで傾きには影響しない——微分すると消える（＝0）。
れんしゅう
(x²)′ ＝ □x。□は？
(x³)′ ＝ □x²。□は？
定数 7 を微分すると？
y ＝ 2x⁴ の導関数は y′ ＝ □x³。□は？
y ＝ x³ − 4x² ＋ 5x − 7 の y′ の x² の係数は？
y ＝ x² − 6x ＋ 1 の y′ ＝ 2x − □。□は？
y ＝ x² 上の点 (3, 9) での接線の傾きは？
その接線 y ＝ 6x ＋ b の b は？（−9 のように書いてね）
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！