ステップ A4-3-1
不定積分 — 微分の逆再生
この ページで まなぶ こと
- 不定積分（原始関数）の意味と ∫xⁿ dx の公式をつかえるようになる
- 積分定数Cの意味がわかる
微分すると f(x) になる関数が f(x) の不定積分 ∫f(x)dx。∫xⁿ dx ＝ xⁿ⁺¹/(n ＋ 1) ＋ C。定数の微分は0だから、答えには必ず ＋C（積分定数）がつく。
「微分したらこれになる関数」を探せ
微分の逆問題を考えよう：微分すると 2x になる関数は？
(x²)′ ＝ 2x だから、答えのひとつは x²。この「逆再生」を積分するといい、記号で——
\[\int 2x\, dx = x^2 + C\]∫はインテグラル（積分記号）、dx は「xについて」の目印。そして ＋C が肝心だ。
なぜ ＋C がつくのか
x² ＋ 5 も微分すれば 2x。x² − 3 もそうだ。定数は微分で消える（傾きに影響しないから——前たんげん）。つまり「微分したら 2x」の答えは1つではなく、定数だけ違う関数の一族まるごと。それを x² ＋ C（Cは積分定数）と書く。答えが「関数の一族」であることを忘れないための、大事なしっぽだよ。
公式 — 微分の巻き戻し
微分の公式 (xⁿ)′ ＝ nxⁿ⁻¹ を逆向きに読むと——
\[\int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]指数をひとつ上げて、上げた指数でわる。検算はいつでもできる：右辺を微分して、中身に戻れば正解だ。
例1 ：∫x² dx ＝ x³/3 ＋ C。検算：(x³/3)′ ＝ 3x²/3 ＝ x² ✓
例2 ：∫(3x² − 4x ＋ 5) dx ＝ ？ 項ごとに（和と定数倍はバラせる——微分と同じ）——
\[x^3 - 2x^2 + 5x + C\]検算：微分すると 3x² − 4x ＋ 5 ✓ 積分の検算は微分——逆演算ならではの安心感だ。
例3 ：∫5 dx ＝ 5x ＋ C（微分して5になるのは 5x）。
条件がCを決める
例4 ：F′(x) ＝ 2x で、F(1) ＝ 3 となる F(x) は？
F(x) ＝ x² ＋ C。条件から 1 ＋ C ＝ 3、C ＝ 2。F(x) ＝ x² ＋ 2。
「変化の仕方（導関数）」と「ある時点の値」がわかれば、関数全体が復元できる——落ちるボールの速度の式から位置の式を復元する、物理の日常業務そのものだ。
よくあるまちがい
その1：＋C を忘れる。 ∫2x dx ＝ x² だけでは一族の代表しか答えていない。不定積分の答えには必ず ＋C。
その2：わる数をまちがえる。 ∫x³ dx ＝ x⁴/3 ではなく x⁴/4。わるのは新しい指数（n ＋ 1）。迷ったら微分して検算——3秒で確かめられる。
れんしゅう
∫2x dx ＝ x□ ＋ C。□（指数）は？
∫x² dx ＝ x³/□ ＋ C。□は？
∫4 dx ＝ □x ＋ C。□は？
∫x³ dx ＝ x⁴/□ ＋ C。□は？
∫(6x² − 2x) dx ＝ 2x³ − x□ ＋ C。□（指数）は？
不定積分に ＋C がつく理由は？
F′(x) ＝ 2x、F(1) ＝ 3 のとき F(x) ＝ x² ＋ □。□は？
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！