定積分と面積 — 微積分学の基本定理

曲線の下の面積は測れるか

y ＝ x² と x軸、直線 x ＝ 1 で囲まれた図形——三角形でも長方形でもない、曲がった図形の面積は？

古代からの発想は「細い短冊に刻んで長方形で近似し、無限に細かくする」。刻めば刻むほど誤差は減り、極限（このたんげんの最初の武器！）が正確な面積を与える。原理は明快——でも計算はΣと極限の重労働だ。

大発見 — 面積は「逆微分」で出る

ここで、歴史を変えたショートカットが登場する。面積を「x ＝ 0 からたまっていく量」S(x) と見ると、S(x) の増える速さは、その場所でのグラフの高さ f(x) に等しい（短冊1枚の増分 ≒ 高さ × 幅だから）。つまり——

S′(x) ＝ f(x)。面積関数は、f の不定積分だった！

これが微積分学の基本定理。面積（積み上げ）と微分（変化率）——別々に育った2つの概念が、逆演算の関係で結ばれた。だから a から b までの面積は、不定積分 F を使って——

\[\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b\]

例1 ：y ＝ x² の 0 から 1 までの面積は？

\[\int_0^1 x^2\, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}\]

無限の短冊たしざんが、引き算ひとつで済んだ。ちなみに囲む長方形（面積1）のちょうど 1/3——放物線の下は、意外に整った数になる。

例2 ：∫₁³ 2x dx ＝ [x²]₁³ ＝ 9 − 1 ＝ 8。

検算：y ＝ 2x の下の 1〜3 の部分は台形。(2 ＋ 6) × 2 ÷ 2 ＝ 8 ✓ 台形公式（G2）と基本定理が同じ答え——新しい道具は古い道具と答えが合ってこそ信用できる。

例3 ：定積分では ＋C が要らない。F(b) − F(a) の引き算でCが打ち消し合うからだ。

面積の約束ごと

グラフがx軸より下にある区間では、定積分は負の値になる（高さが負の短冊）。純粋な「面積」がほしいときは、下側の部分は符号を返してたす。

例4 ：∫₋₁¹ x³ dx ＝ [x⁴/4]₋₁¹ ＝ 1/4 − 1/4 ＝ 0。左半分の負と右半分の正が相殺——「符号つき面積」であることの、いちばん鮮やかな例だ。

よくあるまちがい

その1：F(a) − F(b) と逆に引く。 正しくは上端から下端：F(b) − F(a)。∫₀¹ x² dx が負になったら順序ミスの合図（0 ≦ x で x² ≧ 0 だから正のはず——検算になる）。

その2：負の部分を忘れて「面積0」と答える。 例4の図形の見た目の面積は 1/4 ＋ 1/4 ＝ 1/2。定積分の値と図形の面積は、グラフが軸の下にもぐるとき区別が要る。

れんしゅう

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。

あたらしい もんだいを つくる