組合せ nCr

「選ぶ」と「ならべる」はちがう

A、B、C、D の4人から2人を選んでリレーの第1・第2走者を決める——これは順列 ₄P₂ ＝ 12通り。「AB」と「BA」は走順がちがうから別ものだ。

では4人から2人の掃除当番を選ぶなら？ 当番に順番はない。「AとB」と「BとA」は同じ顔ぶれ——1通りに数えるべきだ。

順列の12通りを見ると、同じ顔ぶれがちょうど2通りずつ（ABとBA、ACとCA、…）ダブっている。だから——

\[12 ÷ 2 = 6 \text{ 通り}\]

この「順番を気にしない選び方」が組合せ、記号は nCr。一般に、r人の顔ぶれは r! 通りにならべられるから——

\[{}_n\mathrm{C}_r = \frac{ {}_n\mathrm{P}_r }{r!}\]

ならべすぎてから、ダブりでわる——組合せの心臓部はこの一行だ。

例1 ：₅C₂ ＝ ₅P₂/2! ＝ 20/2 ＝ 10。

例2 ：₆C₃ ＝ (6 × 5 × 4)/(3 × 2 × 1) ＝ 120/6 ＝ 20。

選ぶ ＝ 残す

例3 ：8人から6人を選ぶ ₈C₆ を計算したい。6個の積を書くのは大変……でも待った。6人を選ぶことは、残る2人を選ぶことと同じだ。

\[{}_8\mathrm{C}_6 = {}_8\mathrm{C}_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28\] \[{}_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n-r}\]

計算がラクになるだけでなく、「選ぶ」と「残す」の対称性という意味が式に写っている。nC0 ＝ nCn ＝ 1（全員選ばない／全員選ぶは1通りずつ）もこの対称性の両端だ。

順列か、組合せか

例4 ：10人から3人の代表を選ぶ——順番なし、₁₀C₃ ＝ 720/6 ＝ 120通り。

例5 ：10人から会長・書記・会計を選ぶ——役職＝順番あり、₁₀P₃ ＝ 720通り。

見分ける質問はひとつ：「選ばれた2人（3人）を入れかえたら、別の結果になるか？」なるなら順列、ならないなら組合せ。

よくあるまちがい

その1：わり忘れ。 「4人から2人選ぶ」を ₄P₂ ＝ 12 のままにするミス。順番がないなら 2! でわって6。「入れかえて同じか？」を毎回自問しよう。

その2：nCr の計算で分子だけ階乗にする。 ₆C₃ ＝ (6 × 5 × 4)/(3 × 2 × 1)。分子はr個でストップ（₆P₃）、分母が r!。6!/3! としないように。

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