二項定理とパスカルの三角形

展開の係数のなぞ

乗法公式で (a ＋ b)² ＝ a² ＋ 2ab ＋ b²（N10）。がんばれば (a ＋ b)³ ＝ a³ ＋ 3a²b ＋ 3ab² ＋ b³ も出せる。係数を並べると——

(a＋b)¹     1  1
(a＋b)²    1  2  1
(a＋b)³   1  3  3  1
(a＋b)⁴  1  4  6  4  1

両どなりの和が下の段になる三角形——パスカルの三角形だ。1 ＋ 3 ＝ 4、3 ＋ 3 ＝ 6。でも、なぜ？

展開とは「選ぶこと」だった

(a ＋ b)³ ＝ (a ＋ b)(a ＋ b)(a ＋ b) の展開を、分配法則の目で見直そう。展開の各項は、3つのかっこのそれぞれから a か b を1つずつ選んでかけたものだ。

a²b という項ができるのは、3つのかっこのうちどれか1つから b、残り2つから a を選んだとき。その選び方は——3つから1つ選ぶ ₃C₁ ＝ 3通り。だから a²b の係数は3！

展開の係数の正体は組合せの数だった。一般に——

これが二項定理。パスカルの三角形の「両どなりの和」の規則も、組合せの公式 nCr ＝ n−1Cr−1 ＋ n−1Cr（選ぶ集団に新入りを入れるか入れないかで場合分け！）そのものだ。

つかってみる

例1 ：(a ＋ b)⁵ の a³b² の係数は？

5つのかっこから b を2つ選ぶ：₅C₂ ＝ 10。

例2 ：(x ＋ 2)⁴ の x² の係数は？

x²の項は ₄C₂ x² × 2² ＝ 6 × 4 × x²。係数は 24。bの側に数がいるときは、その累乗も忘れずに。

例3 ：₅C₀ ＋ ₅C₁ ＋ ₅C₂ ＋ ₅C₃ ＋ ₅C₄ ＋ ₅C₅ ＝ ？

二項定理で a ＝ b ＝ 1 とおくと、左辺は (1 ＋ 1)⁵ ＝ 2⁵ ＝ 32。「5人のグループから何人選んでもよい選び方の総数 ＝ 各人の入る/入らないで 2⁵」——数え上げの意味とも一致する ✓

検算：1 ＋ 5 ＋ 10 ＋ 10 ＋ 5 ＋ 1 ＝ 32 ✓

よくあるまちがい

その1：係数だけ拾って数の累乗を忘れる。 (x ＋ 2)⁴ の x² の係数を ₄C₂ ＝ 6 で止めるミス。2² ＝ 4 がかかって24。「bの中身ごと2乗」だ。

その2：段の数えまちがい。 パスカルの三角形で (a ＋ b)ⁿ に対応するのは「1 n …」で始まる段。上から数えるときは 1 だけの段（0段目）から数える習慣をつけると崩れない。

れんしゅう