和の法則・積の法則

全部描けば、まちがえない

コインを2回投げると、出方は何通り？ 樹形図（じゅけいず）——枝分かれの図で全部描き出そう。

1回目が表なら、2回目は表か裏。1回目が裏でも、2回目は表か裏。枝は 表表・表裏・裏表・裏裏 の4通り。

樹形図の長所は「もれなく、重複なく」が目で確認できること。数え上げのまちがいのほとんどは、もれ（数え忘れ）か重複（二重数え）だ。迷ったら樹形図に戻る——これが数え上げの安全地帯。

積の法則 — 「そして」はかけ算

でも、コインを10回投げたら樹形図は1024本の枝になって描ききれない。描かずに数える法則がほしい。

樹形図をよく見ると、1回目の枝2本のそれぞれから2本ずつ枝が出ている。2 × 2 ＝ 4。これが積の法則：

ことがらAの起こり方が a 通り、そのそれぞれに続いてBの起こり方が b 通りあるなら、AそしてBは a × b 通り。

例1 ：シャツ3種類とズボン2種類の組み合わせは？ シャツを選び、そしてズボンを選ぶ——3 × 2 ＝ 6通り。（3 × 2 の長方形に並べて数えた、N3のかけ算の風景そのものだ。）

例2 ：コインを10回投げたときの出方は？ 2 × 2 × … × 2（10個）＝ 2¹⁰ ＝ 1024通り。指数（A2）が数え上げにも顔を出す。

和の法則 — 「または」はたし算

例3 ：大小2つのさいころを投げて、目の和が5または11になるのは何通り？

和が5：(1,4)(2,3)(3,2)(4,1) の4通り。和が11：(5,6)(6,5) の2通り。「和が5」と「和が11」は同時には起こらないから、単純にたして 4 ＋ 2 ＝ 6通り。これが和の法則だ。

同時に起こりうる場合は、たすと重複が出る。「3の倍数または4の倍数」のようなときは、S1章のベン図で学んだとおり、共通部分を引く必要がある——和の法則が使えるのは排反（重なりゼロ）のときだけ。

つかい分けの目印

• 「そして」「続けて」「組み合わせて」→ かける（積の法則）
• 「または」「どちらか」→ たす（和の法則、ただし重なりがないとき）

例4 ：1、2、3、4 の4枚のカードから2枚を選んで2けたの整数を作ると何通り？

十の位は4通り、そして一の位は残りの3枚で3通り。4 × 3 ＝ 12通り。「残りの3枚」——2回目の選択肢が減るのに注意。ここが次のステップ「順列」の入り口だ。

よくあるまちがい

その1：たすべき場面でかける。 「和が5または11」を 4 × 2 ＝ 8通り としたら誤り。2つの場合は続けて起こるのではなく、どちらか一方が起こる。

その2：重複に気づかない。 「さいころ2個で少なくとも1つ6が出る」を 6 ＋ 6 ＝ 12通り とするのは (6,6) の二重数え。正しくは 6 ＋ 6 − 1 ＝ 11通り。

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