順列と階乗

1列にならべる — 階乗

4人が1列にならぶ方法は何通りだろう。積の法則で組み立てる。

先頭は4人の誰でも：4通り。そして2番目は残り3人：3通り。そして3番目は残り2人、最後は残った1人。

\[4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \text{ 通り}\]

この「nから1まで全部かける」形は頻出なので、記号がある——n の階乗（かいじょう）：

\[n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\]

例1 ：3! ＝ 6、5! ＝ 120、6! ＝ 720。階乗は爆発的に育つ。10! はもう 3628800——トランプ52枚のならべ方 52! は宇宙の原子の数さえ超える桁になる。

r人だけ選んでならべる — 順列

例2 ：6人のリレーチームから4人を選んで走順を決める。何通り？

第1走者6通り、第2走者は残り5人、第3走者4通り、第4走者3通り。

\[6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360 \text{ 通り}\]

このように「n個から r個を選んで順番にならべる」場合の数を順列といい、nPr と書く。

\[{}_n\mathrm{P}_r = \underbrace{n \times (n-1) \times \cdots}_{r個の積}\]

「nから始めて1ずつ減らしながら r 個かける」。nPn ＝ n!（全員ならべる）で、階乗は順列の特別な場合だ。

例3 ：₅P₂ ＝ 5 × 4 ＝ 20。₇P₃ ＝ 7 × 6 × 5 ＝ 210。

条件つきのならべ方

例4 ：0、1、2、3 の4枚のカードで3けたの整数を作る。何通り？

百の位に0は置けない（012は3けたではない）。ここが落とし穴。

百の位：0以外の3通り。十の位：残り3枚のどれでも3通り（今度は0もOK）。一の位：残り2通り。

\[3 \times 3 \times 2 = 18 \text{ 通り}\]

制約のいちばん強いところから決めるのがコツ。数え上げは「どの順に決めるか」の設計が勝負だ。

検算：制約なしなら ₄P₃ ＝ 24通り。百の位が0のものは ₃P₂ ＝ 6通り。24 − 6 ＝ 18 ✓ 別の道で数えて一致——数え上げの検算の王道だよ。

よくあるまちがい

その1：選択肢が減っていくのを忘れる。 4人のならびを 4 × 4 × 4 × 4 とするミス。一度ならんだ人はもう選べない——だから 4 × 3 × 2 × 1。（同じものを何度も選べる場合は 4⁴ で正しい。問題文の「もどす・もどさない」に注意。）

その2：nPr の r を「引く数」と混同。 ₆P₄ は「6から4を引く」のではなく「6から4個かけ下ろす」：6 × 5 × 4 × 3。

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