コーシーの積分定理と積分公式

正則なら、一周は0

複素関数の線積分 ∮f(z)dz を考える（道はA9の線積分と同じく媒介変数で歩く）。中心定理がこれだ：

コーシーの積分定理 ：fが閉曲線Cとその内部で正則なら——

\[\oint_C f(z)\, dz = 0\]

なぜか。f dz ＝ (u ＋ iv)(dx ＋ i dy) を実部・虚部に分けると、2本の実の線積分になる。グリーンの定理（A9！）でそれぞれを重積分に変えると、中身に現れるのは——ちょうどCR方程式の左辺ひく右辺。正則ならぜんぶ0 ∎

A9の「保存場では一周0」と同じ構図だ：正則関数は、複素平面の保存場なのだ。

例1 ：∮z² dz（どんな閉曲線でも）＝ 0。多項式は全平面で正則だから。

例外の主役 — 1/z

f(z) ＝ 1/z は原点で破綻する（0でわれない——特異点）。原点を囲む単位円 z ＝ e^(it)（0 ≦ t ≦ 2π、オイラーの公式！）で一周してみよう。dz ＝ ie^(it)dt だから——

\[\oint \frac{dz}{z} = \int_0^{2\pi} \frac{ie^{it}}{e^{it}}\, dt = \int_0^{2\pi} i\, dt = 2\pi i\]

0でない！ 特異点を囲むと、定理の前提（内部で正則）が崩れて値が生き残る。しかも答えは道の形によらず（特異点を1周する限り）いつも 2πi——渦の場の一周が 2π だったこと（A9）の複素版だ。実は 1/zⁿ（n ≧ 2）の一周は0で、1/z だけが 2πi を残す。この「1/z の係数だけが生き残る」事実が、次のたんげんの留数定理の心臓になる。

コーシーの積分公式 — 内側は縁で決まる

積分定理と 1/z の計算を組み合わせると、驚くべき公式が出る。fが正則で、aがCの内部の点なら——

\[f(a) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z - a}\, dz\]

内部の点での値が、縁の上の値だけから完全に復元できる。 実関数ではありえない（縁が同じでも中身は自由自在）。正則関数は、CR方程式で縦横に縛られているため、縁が決まれば中身に選択の余地がないのだ。

この公式を a で何度でも微分できるので、正則関数は自動的に無限回微分可能、さらにテイラー展開（A6）の収束まで保証される——前たんげんで予告した「楽園」の証書がこれだ。

例2 ：∮ e^z/(z − 0) dz（単位円）＝ 2πi × e⁰ ＝ 2πi。積分公式を逆向きに使えば、複雑な積分が「点の値の読み取り」に化ける。

よくあるまちがい

その1：どんな関数でも一周0とする。 0になるのは囲んだ内部まで正則なとき。1/z のように特異点を囲めば話は別——「囲んでいるか」が最重要チェックだ。

その2：2πi の i を落とす。 答えは 2π ではなく 2πi（虚数単位つき）。実の渦（A9）との対比で、複素では i が残ると覚えよう。

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