たんげんテスト A10-2-2
たんげんテスト：コーシーの積分定理
この ページで まなぶ こと
- 積分定理と積分公式をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたら、最後のたんげん「級数展開と留数定理」へ！
「コーシーの積分定理」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
∮(z² ＋ 3z) dz（閉曲線）＝ ？
かいせつz² ＋ 3z は多項式で全平面で正則。コーシーの積分定理より、閉曲線とその内部で正則な関数の一周積分は 0。
Q2
きほん
∮dz/z（原点を1周）＝ 2π□。□に入る記号は？
かいせつ単位円 z ＝ e^(it)（0 ≦ t ≦ 2π）で計算すると dz ＝ ie^(it)dt だから、∮dz/z ＝ ∫i dt ＝ 2πi。答えは 2π ではなく虚数単位つきの 2πi——i を落とさないこと。
Q3
きほん
1/z が積分定理の例外になる理由は？
かいせつ1/z は z ＝ 0 で定義できない（0でわれない）。原点を囲む閉曲線では「内部まで正則」という積分定理の前提が崩れるため、一周積分が 2πi と生き残る。
Q4
ふつう
∮e^z/z dz（単位円）＝ □πi。□は？
かいせつコーシーの積分公式を f(z) ＝ e^z、a ＝ 0 に使うと ∮e^z/z dz ＝ 2πi × f(0) ＝ 2πi × e⁰ ＝ 2πi。□ ＝ 2。
Q5
ふつう
「正則関数は複素平面の——」
かいせつ正則関数の一周積分が 0 になるのは、保存場の一周が 0 になるのと同じ構図。実際、f dz を実部・虚部に分けてグリーンの定理を使うと、CR方程式によって中身がぜんぶ 0 になる。
Q6
チャレンジ
∮z²/(z − 2) dz（z ＝ 2 を囲む）＝ 2πi × f(2)、f(z) ＝ z²。f(2) ＝ ？
かいせつコーシーの積分公式 ∮f(z)/(z − a) dz ＝ 2πi × f(a) を f(z) ＝ z²、a ＝ 2 に使う。f(2) ＝ 2² ＝ 4 だから、積分の値は 2πi × 4 ＝ 8πi。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！