ローラン展開と留数定理

特異点のまわりでは、負のべきが現れる

正則関数はテイラー展開できた（前たんげん）。では特異点のまわりでは？ 負のべきを許して展開する——ローラン展開だ。

\[f(z) = \cdots + \frac{a_{-2}}{(z - a)^2} + \frac{a_{-1}}{z - a} + a_0 + a_1(z - a) + \cdots\]

前たんげんの計算を思い出そう：一周積分で 1/(z − a)² 以上も正のべきもすべて0になり、1/(z − a) の項だけが 2πi を残す。つまり一周積分は、係数 a₋₁ がすべてを握っている。この a₋₁ を留数（りゅうすう、Residue）といい、Res(f, a) と書く。

例1 ：f(z) ＝ 5/(z − 1) の z ＝ 1 での留数は 5（展開がそのままローラン展開）。

例2 ：f(z) ＝ 1/((z − 1)(z − 3)) の z ＝ 1 での留数は、(z − 1) を掛けて z → 1 とすれば取り出せる：1/(1 − 3) ＝ −1/2。単純な極なら「掛けて代入」が留数の速算法だ。

留数定理

閉曲線Cの内部に特異点 a₁、…、aₙ があるとき——

\[\oint_C f(z)\, dz = 2\pi i \sum_k \operatorname{Res}(f, a_k)\]

一周積分 ＝ 囲んだ留数の合計 × 2πi。 グリーンの定理が「縁の一周＝中身の渦の合計」だったのと同じ構図で、複素の渦は特異点に集中している——積分が数え上げに変わるのだ。

例3 ：∮dz/((z − 1)(z − 3))、道は

z

＝ 2 の円（z ＝ 1 だけを囲む）。

囲んだ留数は −1/2 のみ。答え：2πi × (−1/2) ＝ −πi。

実積分への大逆襲

留数定理の白眉は、実数の定積分が解けることだ。

\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2}\]

被積分関数を複素に広げ、実軸＋上半平面の大きな半円という閉じた道で積分する。半円部分は半径→∞で消える（分母が2次で勝つ）ので、実軸の積分 ＝ 一周積分 ＝ 2πi ×（上半平面の留数）。

特異点は 1 ＋ z² ＝ 0 の解 z ＝ ±i（N11の虚数解！）。上半平面にいるのは z ＝ i。留数は「掛けて代入」：1/(z ＋ i) に z ＝ i を入れて 1/2i。よって——

\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2} = 2\pi i \cdot \frac{1}{2i} = \pi\]

検算：この積分は arctan の差としても計算でき π ✓ だが、留数なら arctan を知らなくても、もっと難しい積分（sin x/x の全区間積分 ＝ π など）まで同じ手順で落ちる。実の世界の難問を、複素平面に持ち上げて特異点を数えて解く——遠回りこそ最短路。i という「実在しない数」（N11）が、実の積分の値を告げる——数学ハイウェイでもっとも鮮やかな景色のひとつだ。

よくあるまちがい

その1：囲んでいない特異点まで数える。 合計するのは道の内部の留数だけ。例3で z ＝ 3 は圏外だ。どの特異点を囲んだか、図を描いて確認。

その2：2πi の掛け忘れ。 留数の和だけで答えにしない。× 2πi までが定理。実積分の応用では i が留数の 1/2i と打ち消して実数になる——ならなかったら計算ミスの合図だ。

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