たんげんテスト A10-3-2
たんげんテスト：級数展開と留数定理
この ページで まなぶ こと
- ローラン展開・留数・留数定理をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたらA10章は完了！ 章テストへ——解析ルート完走まであと一歩！
「級数展開と留数定理」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
f(z) ＝ 3/(z − 4) の z ＝ 4 での留数は？
かいせつ3/(z − 4) はそれ自身が z ＝ 4 まわりのローラン展開で、1/(z − 4) の係数は 3。よって Res(f, 4) ＝ 3。
Q2
きほん
留数の合計が 2 のとき、一周積分は □πi。□は？
かいせつ留数定理 ∮f dz ＝ 2πi × （囲んだ留数の合計）より、2πi × 2 ＝ 4πi。□ ＝ 4。留数の和だけで答えにせず、× 2πi を忘れないこと。
Q3
きほん
留数定理で数えるのは？
かいせつ留数定理で合計するのは閉曲線が囲んだ内部にある特異点の留数だけ。たとえば ｜z｜ ＝ 2 の円で 1/((z − 1)(z − 3)) を積分するとき、z ＝ 1 は数えるが z ＝ 3 は圏外だ。
Q4
ふつう
1/((z − 1)(z − 3)) の z ＝ 1 での留数は？（−1/2 のように書いてね）
かいせつ単純な極なので「掛けて代入」。(z − 1) を掛けると 1/(z − 3) が残り、z ＝ 1 を代入して 1/(1 − 3) ＝ −1/2。
Q5
ふつう
∫dx/(1 ＋ x²)（全実数）の値は？（記号1文字）
かいせつ上半平面の特異点 z ＝ i での留数は「掛けて代入」で 1/(z ＋ i) に z ＝ i を入れた 1/2i。留数定理より積分は 2πi × 1/2i ＝ π。2π は 2πi の i を落とした誤り。
Q6
チャレンジ
実積分を留数で解く道すじは？
かいせつ被積分関数を複素に広げ、実軸＋上半平面の大きな半円という閉路で積分する。半円部分は半径→∞で消えるので、実積分 ＝ 一周積分 ＝ 2πi × （上半平面の留数の合計）となり、積分が数え上げに変わる。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！