複素数平面と絶対値

「見えない数」に住所を与える

虚数には数直線上の居場所がなかった（N11）。でも、直線の外ならどうだろう。

横軸に実部、たて軸に虚部——z ＝ a ＋ bi を点 (a, b) として描く。この平面を複素数平面という。3 ＋ 2i は「右に3、上に2」の点。実数は横軸（実軸）上に、純虚数はたて軸（虚軸）上に住む。

複素数のたし算 (a ＋ bi) ＋ (c ＋ di) ＝ (a ＋ c) ＋ (b ＋ d)i は、ベクトルの和とまったく同じ（成分ごとにたす——G5！）。複素数平面は、ベクトルの平面に「かけ算」という新機能を積んだものなんだ。

絶対値 — 原点からの距離

\[|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\]

例1 ：

3 ＋ 4i

＝ √(9 ＋ 16) ＝ 5。三平方の定理が、また現れた。

実数のときの絶対値

−3

＝ 3（0からの距離——N8）と同じ心：**

z

は原点からの距離**だ。定義の拡張が、意味を保ったまま行われている。

例2 ：

z₁ − z₂

は2点間の距離になる。

（3 ＋ 4i）−（1 ＋ 2i）

＝

2 ＋ 2i

＝ 2√2。図形と方程式（G5）の距離公式が、複素数の引き算ひとつで書けた。

共役 — 実軸の鏡

z ＝ a ＋ bi の虚部の符号だけ変えた z̄ ＝ a − bi を共役複素数という。図では実軸についての鏡うつしだ。

共役には、覚える価値のある性質がひとつある：

\[z\bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 = |z|^2\]

（和と差の積の公式——N10——が働いている。）複素数とその鏡を掛けると、実数になる。

例3 ：この性質は、複素数のわり算を「実数でわるわり算」に変える。

\[\frac{1}{1 + 2i} = \frac{1 - 2i}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{1 - 2i}{5} = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i\]

分母の有理化（N10の √ の処理）と同じ発想——分母から虚数を追い出すのに、鏡を掛ける。

検算：(1/5 − 2i/5)(1 ＋ 2i) ＝ 1/5 ＋ 2i/5 − 2i/5 − 4i²/5 ＝ 1/5 ＋ 4/5 ＝ 1 ✓

よくあるまちがい

その1：絶対値に i を入れてしまう。

3 ＋ 4i

＝ √(3² ＋ (4i)²) は誤り。絶対値は実部と虚部（実数）の2乗の和：√(3² ＋ 4²)。虚部とは bi の b のことだ。

**その2：

z

² と z² の混同。**

z

² ＝ z z̄ は実数。z² ＝ (a ＋ bi)² は一般に複素数。(1 ＋ i)² ＝ 2i と

1 ＋ i

² ＝ 2——別物だよ。

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