極形式とド・モアブルの定理

複素数を「距離と向き」で書く

点 (a, b) は、直交座標のかわりに「原点からの距離 r と、実軸からの角 θ」でも指定できる（単位円の考え——A2）。a ＝ r cos θ、b ＝ r sin θ だから——

\[z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\]

これが極形式。r ＝

z

、θ を偏角という。

例1 ：z ＝ 1 ＋ i の極形式は？ r ＝ √2、θ ＝ π/4（点 (1,1) の方向）。z ＝ √2(cos π/4 ＋ i sin π/4)。

かけ算の正体 — 回転と拡大

2つの複素数を極形式のまま掛けてみる。

\[z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)\]

かっこを展開して実部と虚部に整理すると——

\[実部：\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2 \qquad 虚部：\sin\theta_1\cos\theta_2 + \cos\theta_1\sin\theta_2\]

この2つの式、見覚えがあるはず——加法定理（A2）そのものだ！ つまり——

\[z_1 z_2 = r_1 r_2 \{\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\}\]

絶対値はかけ算、偏角はたし算。 複素数のかけ算とは「拡大しながら回転する」操作だった。i（偏角90°）を掛けると90°回る——i² ＝ −1 は「90°を2回回れば180°（＝ −1 の方向）」という図形の事実だったんだ。

例2 ：(1 ＋ i)² を図で考える。絶対値 √2 → 2、偏角 45° → 90°。つまり 2i。展開でも 1 ＋ 2i ＋ i² ＝ 2i ✓

ド・モアブルの定理 — n乗は偏角のn倍

かけ算のたびに偏角がたされるなら、n回掛ければ偏角はn倍——

\[(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\]

ド・モアブルの定理（厳密には数学的帰納法——A3——で証明できる。［2］のステップが加法定理だ）。

例3 ：(1 ＋ i)⁸ を求めよう。

まともに8回掛けたら大変。極形式なら：絶対値 (√2)⁸ ＝ 16、偏角 8 × 45° ＝ 360° ＝ 0°。よって (1 ＋ i)⁸ ＝ 16。

例4 ：z³ ＝ 1 の解（1の3乗根）はいくつある？

絶対値1・偏角θの解を探すと、3θ が 0°、360°、720° のとき——θ ＝ 0°、120°、240° の3個。複素数平面に描くと、単位円に内接する正三角形の頂点！ 代数学の基本定理（N11）の「3次方程式には3つの解」が、美しい図形になって見えた。

よくあるまちがい

その1：偏角どうしを掛けてしまう。 かけ算で掛かるのは絶対値。偏角はたす。「回転は角度の加算」——時計の針を思い浮かべよう。

その2：極形式の cos と sin の取りちがえ。 実部が cos、虚部が sin（単位円の座標と同じ順）。z ＝ r(cos θ ＋ i sin θ) の形を崩さずに覚える。

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