たんげんテスト G6-1-3
たんげんテスト:複素数平面
この ページで まなぶ こと
- 絶対値・極形式・ド・モアブルの定理をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたらG6章は完了! 章テストへ進もう。
「複素数平面」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
|6 + 8i| = ?
かいせつ|a + bi| = √(a² + b²) だから |6 + 8i| = √(36 + 64) = √100 = 10。原点から点 (6, 8) までの距離だ。
Q2
きほん
z = 4 + 7i の共役複素数は 4 − □i。□は?
かいせつ共役複素数は虚部の符号だけを変えたもの。z = 4 + 7i なら z̄ = 4 − 7i——実軸についての鏡うつしだ。
Q3
きほん
z = 3 + i のとき z z̄ = ?
かいせつz z̄ = |z|² = a² + b² だから 3² + 1² = 10。展開しても (3 + i)(3 − i) = 9 − i² = 9 + 1 = 10 と検算できる。
Q4
ふつう
1 − i の偏角は −□°。□は?
かいせつ1 − i は点 (1, −1)——実軸から時計回りに45°の方向だから、偏角は −45°。1 + i(偏角45°)の鏡うつしだ。
Q5
ふつう
複素数のかけ算で、絶対値は?
かいせつz₁z₂ の絶対値は r₁r₂、偏角は θ₁ + θ₂——絶対値はかけられ、偏角はたされる。かけ算は「拡大しながら回転する」操作だ。
Q6
ふつう
(cos 60° + i sin 60°)³ の偏角は?
°
かいせつド・モアブルの定理で偏角は3倍:3 × 60° = 180°。絶対値1・偏角180°の複素数だから、値は −1 になる。
Q7
チャレンジ
(1 + i)⁴ = ?(−4 のように書いてね)
かいせつ1 + i は絶対値 √2・偏角45°。4乗すると絶対値 (√2)⁴ = 4、偏角 4 × 45° = 180°。絶対値4・偏角180°の複素数は −4 だ。
Q8
チャレンジ
z⁴ = 1 の複素数の解は全部でいくつ?
個
かいせつ絶対値1・偏角 θ とすると 4θ が 360° の倍数になればよく、θ = 0°、90°、180°、270° の4個(1、i、−1、−i)。単位円に内接する正方形の頂点だ。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア! よく できました!