点と直線 — 距離・中点・直線の方程式

距離は三平方で測る

2点 A(1, 2)、B(4, 6) の距離は？ 横の差3、たての差4の直角三角形を描けば、斜辺が求める距離——三平方の定理の出番だ。

\[AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

例1 ：AB ＝ √(3² ＋ 4²) ＝ √25 ＝ 5。

中点はもっと簡単で、座標をそれぞれ平均するだけ：M((x₁ ＋ x₂)/2, (y₁ ＋ y₂)/2)。A、Bの中点は (2.5, 4)。

検算：中点から両端までの距離が等しいはず。√(1.5² ＋ 2²) ＝ 2.5 が両側で一致 ✓

直線の方程式 — 通る点と傾きで決まる

一次関数 y ＝ mx ＋ b（A1）は直線だった。図形の道具として使うときに便利なのはこの形——

\[y - y_1 = m(x - x_1)\]

「点 (x₁, y₁) を通り、傾き m」が式にそのまま写っている。展開すればいつもの y ＝ mx ＋ b に戻る。

例2 ：点 (2, 3) を通り傾き2の直線：y − 3 ＝ 2(x − 2)、整理して y ＝ 2x − 1。

検算：x ＝ 2 を代入すると y ＝ 3 ✓ たしかに通る。

例3 ：2点 (1, 1)、(3, 7) を通る直線は？ まず傾き ＝ (7 − 1)/(3 − 1) ＝ 3。あとは片方の点で y − 1 ＝ 3(x − 1)、つまり y ＝ 3x − 2。

平行と垂直 — 傾きの言葉で

• 平行 ⇔ 傾きが等しい（m₁ ＝ m₂)
• 垂直 ⇔ 傾きの積が −1（m₁m₂ ＝ −1）

垂直の条件は不思議に見えるが、傾きmの直線を90°回すと「横に進む量」と「たてに進む量」が入れかわって符号が変わる——傾きは −1/m になる。かけると −1 だ。

例4 ：y ＝ 2x ＋ 1 に垂直で点 (4, 1) を通る直線は？ 傾きは −1/2。y − 1 ＝ −(1/2)(x − 4)、つまり y ＝ −x/2 ＋ 3。

例5（点と距離の合わせ技） ：点 (1, 2)、(5, 2)、(3, 6) を頂点とする三角形は二等辺か？ 距離を3辺とも計算：√(16) ＝ 4、√(4 ＋ 16) ＝ √20、√(4 ＋ 16) ＝ √20——二等辺 ✓ 座標があれば、図形の性質が計算で判定できる。G3では補助線をひらめく必要があった証明が、機械的な計算に変わる——これが「図形と方程式」の威力だ。

よくあるまちがい

その1：距離の式で差を2乗し忘れて負になる。 (x₂ − x₁) が負でも2乗すれば正。√の中が負になったら計算ミスの合図だ。

その2：垂直条件を m₁ ＝ −m₂ と覚える。 正しくは積が−1。y ＝ 2x と y ＝ −2x は垂直ではない（積は−4）。垂直なのは y ＝ 2x と y ＝ −x/2。

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