円の方程式

円とは「距離が一定の点の集まり」

円の定義は「中心から等距離にある点の集まり」（G2）。距離を座標で書けるようになった今、円そのものが式になる。中心 (a, b) から点 (x, y) までの距離が r ——距離の公式を2乗の形で書けば——

\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\]

例1 ：中心 (2, 1)、半径3の円：(x − 2)² ＋ (y − 1)² ＝ 9。

例2 ：円 (x ＋ 3)² ＋ y² ＝ 25 の中心と半径は？ 中心 (−3, 0)（符号の逆転に注意——平方完成の頂点とまったく同じ落とし穴！）、半径 √25 ＝ 5。

例3 ：x² ＋ y² − 4x ＋ 6y ＋ 4 ＝ 0 はどんな円？

xとyを別々に平方完成する：(x − 2)² − 4 ＋ (y ＋ 3)² − 9 ＋ 4 ＝ 0、つまり (x − 2)² ＋ (y ＋ 3)² ＝ 9。中心 (2, −3)、半径3 の円だ。二次関数（A2）で鍛えた平方完成が、円でも通用する。

検算：中心を代入すると左辺 ＝ 0 ＋ 0 − 9 ＝ −9 ＜ 0（中心は円の内側の点だから式の値は負）✓ 円上の点 (5, −3) では 9 − 9 ＝ 0 ✓

円と直線 — 交わる？ 接する？ 離れる？

円 x² ＋ y² ＝ 5 と直線 y ＝ x ＋ 1 の共有点は？ 連立すればいい。代入して——

\[x^2 + (x + 1)^2 = 5 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 + 2x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + x - 2 = 0\]

(x ＋ 2)(x − 1) ＝ 0 より x ＝ −2、1。共有点は (−2, −1) と (1, 2) の2個。

共有点の個数は、この二次方程式の判別式で決まる：D ＞ 0 なら2個（交わる）、D ＝ 0 なら1個（接する）、D ＜ 0 なら0個。放物線とx軸の関係（A2の二次不等式）と同じ構図だ。

もうひとつの方法：中心から直線までの距離 d と半径 r を比べる。d ＜ r で2点、d ＝ r で接する、d ＞ r で離れる。円の対称性を活かした、図形らしい判定法だ。

例4 ：円 x² ＋ y² ＝ 4 と直線 y ＝ 3（水平線）。中心 (0,0) から直線までの距離は3 ＞ 半径2——共有点なし。計算せずに絵で即答できる。

よくあるまちがい

その1：r² と r の混同。 (x − 2)² ＋ (y − 1)² ＝ 9 の半径は9ではなく 3。右辺は半径の2乗だ。

その2：中心の符号。 (x ＋ 3)² は (x − (−3))² ——中心のx座標は −3。「かっこの中を0にする値」と唱えれば、頂点でも中心でもまちがえない。

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