ベクトルの意味と演算

大きさだけでは足りない量

「時速5kmで歩く」だけでは、1時間後にどこにいるかわからない——どっちへ歩くかが要る。向きと大きさをセットにした量がベクトル、記号は a→ や AB→（AからBへの矢印）。

矢印の場所はどこでもいい。長さと向きが同じなら同じベクトル——「東へ3km」は、どこから出発しても「東へ3km」だ。

成分表示 — 矢印を数のペアに

座標平面で「x方向に3、y方向に4」進む矢印を a→ ＝ (3, 4) と書く。これでベクトルの計算は座標の計算になる。

大きさ（矢印の長さ）は三平方の定理で——

\[|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}\]

例1 ：a→ ＝ (3, 4) の大きさは √(9 ＋ 16) ＝ 5。

たし算は「つぎたし」

a→ のあとに b→ をつぎたして進んだ結果が a→ ＋ b→。成分では単純に——

\[(a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)\]

例2 ：(3, 1) ＋ (1, 2) ＝ (4, 3)。「東へ3北へ1」進んでから「東へ1北へ2」進めば、合計「東へ4北へ3」——あたりまえのことが、そのまま計算規則になっている。

実数倍 k a→ は矢印の伸縮：2a→ は同じ向きに2倍、−a→ は逆向き。成分では k(a₁, a₂) ＝ (ka₁, ka₂)。

差 a→ − b→ は a→ ＋ (−b→)。図では「b→ の先から a→ の先へ」の矢印になる。

例3 ：a→ ＝ (3, 1)、b→ ＝ (1, 2) のとき 2a→ − b→ ＝ (6, 2) − (1, 2) ＝ (5, 0)。

位置ベクトルと図形

原点Oから点Aへの矢印 OA→ を、点Aの位置ベクトルという。点の場所をベクトルで語れると、図形の関係が式になる：

例4 ：A(1, 2)、B(5, 6) の中点Mの位置ベクトルは？

\[\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} = \left(\frac{1+5}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = (3, 4)\]

中点 ＝ 位置ベクトルの平均。前たんげんの中点公式が、ベクトルの言葉で再登場した。

例5 ：AB→ の成分は「終点 − 始点」：AB→ ＝ (5 − 1, 6 − 2) ＝ (4, 4)。

よくあるまちがい

その1：大きさとベクトルの混同。

a→

＝ 5 は「長さが5」という数。a→ そのものは向きを持つ量で、「a→ ＝ 5」とは書けない。

その2：AB→ を「始点 − 終点」で計算。 正しくは終点から始点を引く。A(1, 2) から B(5, 6) へ「進む量」は (5 − 1, 6 − 2)——移動先から出発点を引くと進んだ分が出る。

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