内積 — ベクトルのかけ算

ベクトルどうしの「かけ算」

たし算と伸縮はできた。では、ベクトルどうしのかけ算は？ もっとも実り多い定義がこれだ——

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \qquad （θは2つのベクトルのなす角）\]

内積という。結果はベクトルでなく、ただの数。意味は「2つの向きがどれだけそろっているか」——同じ向きなら最大（cos 0 ＝ 1）、垂直なら0（cos 90° ＝ 0）、逆向きなら負。

例1 ：

a→

＝ 3、

b→

＝ 4、なす角60°なら、a→・b→ ＝ 3 × 4 × 1/2 ＝ 6。

もうひとつの顔 — 成分の積和

驚くべきことに、内積は成分から角度を測らずに計算できる。

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2\]

なぜこの2つが同じ数になるのか？ 2つのベクトルの先端を結ぶ三角形に余弦定理（G4）を使うと——

\[|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\]

左辺を成分で展開すると (a₁ − b₁)² ＋ (a₂ − b₂)²。右辺の

a→

²、

b→

² も成分で書いて整理すれば、−2(a₁b₁ ＋ a₂b₂) ＝ −2

a→

b→

cos θ が残る。両辺を−2でわって一致 ∎

幾何の顔（cos θ）と代数の顔（積和）——2つの顔を持つからこそ、内積は「計算で角度を知る」道具になる。

例2 ：a→ ＝ (3, 1)、b→ ＝ (1, 2) の内積は 3 × 1 ＋ 1 × 2 ＝ 5。

垂直判定となす角

垂直 ⇔ a→・b→ ＝ 0——これが内積のいちばん頻繁な使いみちだ。

例3 ：(2, 1) と (−1, 2) は垂直？ 内積 ＝ −2 ＋ 2 ＝ 0——垂直！ 測らず、描かず、計算だけで直角がわかった。（傾きの積 −1 の判定（前たんげん）と同じ内容を、ベクトルはたて向きの直線でも使える形にしてくれる。）

なす角そのものも出せる：cos θ ＝ (a→・b→)/(

a→

b→

)。

例4 ：a→ ＝ (1, 0)、b→ ＝ (1, 1) のなす角は？

cos θ ＝ (1 ＋ 0)/(1 × √2) ＝ 1/√2。よって θ ＝ 45° ✓（図を描けば一目瞭然の角度が、計算からも出た。）

よくあるまちがい

その1：内積をベクトルだと思う。 a→・b→ ＝ 5 の5は数（スカラー）。「内積の成分は？」という質問は意味をなさない。

その2：垂直条件と平行条件の混同。 垂直は内積0。平行は一方が他方の実数倍（成分の比が等しい）。(2, 1) と (4, 2) は平行、(2, 1) と (−1, 2) は垂直だ。

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