微分方程式と変数分離法

答えが「数」でなく「関数」の方程式

これまでの方程式の答えは数だった（x ＝ 3）。微分方程式の答えは関数だ。

\[\frac{dy}{dt} = ky \qquad 「yの増える速さは、いまのyに比例する」\]

この式をみたす関数 y(t) は何か？——「微分すると自分のk倍になる関数」。A5の主役がすぐ思い浮かぶ：e^(kt) だ（微分すると k e^(kt) ＝ k倍 ✓）。定数倍しても事情は同じだから——

\[y = Ce^{kt} \qquad （Cは任意定数）\]

これが一般解。積分定数C（A4）と同じで、微分方程式の解は「定数の分だけ一族」になる。

変数分離法 — 泣き別れて積分

思いつきに頼らない解法がある。dy/dt ＝ ky を、yのものは左、tのものは右に分ける：

\[\frac{dy}{y} = k\, dt\]

両辺を積分すると log

y

＝ kt ＋ C₁（左は 1/y の積分——logの出番！ A5）。指数をとって y ＝ Ce^(kt)。変数分離法——分けて、積分する。それだけだ。

例1 ：y′ ＝ −2y、y(0) ＝ 5 を解こう。

一般解 y ＝ Ce^(−2t)。初期条件 y(0) ＝ 5 から C ＝ 5——

\[y = 5e^{-2t}\]

検算：微分すると −10e^(−2t) ＝ −2y ✓ t ＝ 0 で 5 ✓ 「法則（微分方程式）＋現在地（初期条件）→ 未来のすべて」——これが微分方程式の使い方の全形だ。

例2 ：y′ ＝ ty（比例係数が時間で変わる）も分離できる：dy/y ＝ t dt → log

y

＝ t²/2 ＋ C₁ → y ＝ Ce^(t²/2)。

例3 ：y′ ＝ y² は？ dy/y² ＝ dt → −1/y ＝ t ＋ C → y ＝ −1/(t ＋ C)。初期条件 y(0) ＝ 1 なら C ＝ −1 で y ＝ 1/(1 − t)——t ＝ 1 で爆発（無限大）！ 解が有限時間で吹き飛ぶこともある。微分方程式の世界は、指数関数より過激な現象も飼っている。

よくあるまちがい

その1：積分定数を片側ずつ2個つける。 両辺のC₁、C₂は差し引きして1個にまとめてよい。最後の一般解に任意定数が1個（1階の場合）——それが正しい姿だ。

その2：初期条件を出発点の式に代入する。 Cを決めるのは一般解を出してから。分離の途中で代入すると混乱する。「一般解→初期条件でC決定」の2段構え。

れんしゅう

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。

あたらしい もんだいを つくる