微分方程式でモデルを作る

「〜の速さは…に比例」を式にする

微分方程式の実戦は翻訳から始まる。日本語の法則を、導関数の式に写す。

例1（マルサスの人口モデル） ：「人口の増える速さは人口に比例」→ P′ ＝ kP → P ＝ Ce^(kt)。指数的な爆発（A2の細菌！）。短期の予測には合うが、地球は有限——どこかで破綻するはずだ（あとで直す）。

例2（ニュートンの冷却法則） ：「コーヒーの冷める速さは、まわりとの温度差に比例」。環境温度20°Cなら——

\[T' = -k(T - 20)\]

u ＝ T − 20 と置けば u′ ＝ −ku——おなじみの型に帰着して u ＝ Ce^(−kt)、つまり——

\[T = 20 + Ce^{-kt}\]

例3 ：90°Cのコーヒー（環境20°C）が10分で55°Cに冷めた。C ＝ 70、55 ＝ 20 ＋ 70e^(−10k) より e^(−10k) ＝ 1/2——10分で温度差が半減する。では20分後は？ 温度差はさらに半分の 17.5°C——T ＝ 37.5°C。半減期（A2）の考えが冷却にも現れた。検算：30分後は 20 ＋ 8.75 ＝ 28.75°C、たしかに20°Cへ漸近していく ✓

ロジスティック方程式 — 爆発しない成長

マルサスモデルの欠陥（無限に増える）を直そう。環境が支えられる上限（環境収容力 K）に近づくとブレーキがかかるはず——

\[P' = kP\left(1 - \frac{P}{K}\right)\]

ロジスティック方程式。PがKより小さいうちは (1 − P/K) ≒ 1 でほぼ指数成長、Kに近づくと右辺が0に近づいて頭打ち。解のグラフはS字カーブ（変数分離＋部分分数で厳密に解ける）。

質的な読み方も重要だ：P′ ＝ 0 となるのは P ＝ 0 と P ＝ K。平衡点という。P ＝ K の近くでは、下から近づけば P′ ＞ 0 で押し上げられ、上から近づけば P′ ＜ 0 で押し下げられる——安定な平衡。解を式で書かなくても、微分方程式そのものから「どこに落ち着くか」が読める。この定性的な解析は、解けない方程式が大半の実世界での主戦力だ。

例4 ：感染症の流行（SIRモデル）、化学反応の速度、銀行の複利とローン——「変化の法則→微分方程式→挙動の予測」の型は、あらゆる分野で同じ形で回っている。

よくあるまちがい

その1：比例定数の符号を落とす。 「冷める」「減る」現象は右辺にマイナスが要る。解が増加してしまったら符号を疑おう（検算は現象との照合！）。

その2：モデルを真実と混同する。 マルサスモデルは短期では正確、長期では破綻——モデルには適用範囲がある。「すべてのモデルは間違っている、しかし役に立つものもある」——この距離感ごと身につけるのがモデリングだ。

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