特性方程式と解の重ね合わせ

2階でも、eˣ が効く

\[y'' - 5y' + 6y = 0\]

未知関数の2階微分まで入った方程式。攻め方は1階と同じ発想だ——「微分しても形の変わらない関数」y ＝ e^(λt) を試しに入れてみる。y′ ＝ λe^(λt)、y″ ＝ λ²e^(λt) だから——

\[(\lambda^2 - 5\lambda + 6)e^{\lambda t} = 0\]

e^(λt) は決して0でない（A2）ので、括弧が0——

\[\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 \qquad （特性方程式）\]

微分方程式が二次方程式に化けた。解は λ ＝ 2、3。つまり e^(2t) と e^(3t) がどちらも解だ。

重ね合わせの原理 — 線形の御利益

さらに強力な事実：y₁ と y₂ が解なら、C₁y₁ ＋ C₂y₂ も解。微分は線形写像（L2！）だから、「微分して0になるものの和も0になる」——解の集合はベクトル空間（核 Ker そのもの）なのだ。2階なら次元は2、基底が e^(2t) と e^(3t)——

\[y = C_1 e^{2t} + C_2 e^{3t} \qquad （一般解）\]

任意定数が2個あるのは、2階だから（初期条件も位置 y(0) と速度 y′(0) の2個必要——投げたボールの未来は、位置と速度がそろって初めて決まる）。

例1 ：y″ − 5y′ ＋ 6y ＝ 0、y(0) ＝ 3、y′(0) ＝ 7 を解こう。

C₁ ＋ C₂ ＝ 3、2C₁ ＋ 3C₂ ＝ 7——連立方程式（N9・L1！）を解いて C₁ ＝ 2、C₂ ＝ 1。

\[y = 2e^{2t} + e^{3t}\]

検算：y(0) ＝ 3 ✓ y′ ＝ 4e^(2t) ＋ 3e^(3t)、y′(0) ＝ 7 ✓

例2 ：y″ − y ＝ 0。特性方程式 λ² ＝ 1 → λ ＝ ±1。一般解 y ＝ C₁e^t ＋ C₂e^(−t)。

例3（重解） ：y″ − 4y′ ＋ 4y ＝ 0 は λ ＝ 2 の重解。基底が1本足りない——このときは te^(2t) が2本目の解になり（代入して確認できる）、y ＝ (C₁ ＋ C₂t)e^(2t)。二次方程式の重解（N10）が、解空間にも影を落とす。

固有値との再会

行列で書くと正体が見える。v→ ＝ (y, y′) とおけば、この方程式は v→′ ＝ Av→ という行列の微分方程式で、特性方程式はAの固有値の方程式そのもの（L2）。e^(λt) のλは固有値、解の基底は固有ベクトル方向の運動——「くり返し変換の未来は固有値が決める」（対角化のたんげん）の連続時間版だ。

よくあるまちがい

その1：任意定数を1個にする。 2階の一般解には独立な定数が2個。1個では初期条件2つに応えられない。

その2：重解で e^(2t) を2回書く。 C₁e^(2t) ＋ C₂e^(2t) ＝ (C₁ ＋ C₂)e^(2t) は実質1本——te^(2t) が必要だ。

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