単振動 — 虚数解は振動の合図

ばねの式

ばねにつないだおもりを引いて放す。フックの法則「復元力は変位に比例（逆向き）」から——

\[y'' = -\omega^2 y \qquad 「加速度は、変位の逆向きに比例」\]

特性方程式は λ² ＝ −ω²。実数解なし——λ ＝ ±iω。前のたんげんの処方箋どおりなら解は e^(iωt)。指数の肩に虚数が乗ってしまった。これは何者か？

オイラーの公式が翻訳する

テイラー展開（A6）で予告したオイラーの公式の出番だ：

\[e^{i\omega t} = \cos \omega t + i\sin \omega t\]

（e^x の展開に x ＝ iωt を代入し、iの累乗の周期性 i² ＝ −1、i³ ＝ −i、i⁴ ＝ 1 で実部と虚部に仕分けると、cosとsinの展開がそのまま現れる——A6のテイラーの景色！）

複素数の解 e^(±iωt) を実数の世界に翻訳し直すと、一般解は——

\[y = C_1 \cos \omega t + C_2 \sin \omega t\]

振動だ。 特性方程式の虚数解は「揺れ」の合図——90°回転がiだったこと（G6）、回転する点の影がsin・cosだったこと（A2）、すべての伏線がここで一本に結ばれる。

例1 ：y″ ＝ −4y、y(0) ＝ 3、y′(0) ＝ 0 を解こう。

ω ＝ 2。一般解 y ＝ C₁cos 2t ＋ C₂sin 2t。y(0) ＝ 3 → C₁ ＝ 3。y′(0) ＝ 2C₂ ＝ 0 → C₂ ＝ 0。

\[y = 3\cos 2t\]

振幅3、周期 2π/ω ＝ π の単振動。検算：y″ ＝ −12cos 2t ＝ −4y ✓

例2 ：周期の公式 T ＝ 2π/ω。ω ＝ 1 なら周期 2π——三角関数の周期（A2）が、そのまま物理の振動周期になる。振り子の等時性（ガリレオ）も、時計の設計も、この式の応用だ。

減衰と共振 — 現実の揺れ

摩擦のある現実のばねは y″ ＋ 2γy′ ＋ ω²y ＝ 0。特性方程式の解は λ ＝ −γ ± √(γ² − ω²)——判別式（N11）が運命を分ける：

• 摩擦が小さい（γ ＜ ω）→ 虚数解 → 減衰振動（揺れながら静まる。解は e^(−γt) × 振動——指数と三角の合奏）
• 摩擦が大きい（γ ＞ ω）→ 実数解（すべて負）→ 揺れずにじわっと停止（ドアクローザーの設計！）

外から周期的に揺らすと、固有の振動数ωに近い入力で振幅が跳ね上がる——共振。建物の耐震設計もブランコのこぎ方も、この方程式の言葉で書かれている。

よくあるまちがい

その1：虚数解を見て「解なし」とする。 実数解がないのは特性方程式の話。微分方程式の解はちゃんとある——姿を変えて（振動として）現れるだけだ。

その2：周期とωの混同。 ωは角振動数（1秒に進む角）、周期は T ＝ 2π/ω。ω ＝ 2 の周期は 2π/2 ＝ π——2πではない。

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