たんげんテスト A8-2-3
たんげんテスト：線形微分方程式
この ページで まなぶ こと
- 特性方程式・重ね合わせ・単振動をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたらA8章は完了！ 章テストへ進もう。
「線形微分方程式」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
y″ − 6y′ ＋ 8y ＝ 0 の特性方程式の解のうち大きいほうは？
かいせつy ＝ e^(λt) を代入すると特性方程式 λ² − 6λ ＋ 8 ＝ 0。因数分解して (λ − 2)(λ − 4) ＝ 0 だから λ ＝ 2、4——大きいほうは 4。
Q2
きほん
y″ ＝ −16y の特性方程式の解は ±□i。□は？
かいせつ特性方程式は λ² ＝ −16。実数解はなく λ ＝ ±4i——□は 4。虚数解だから解は cos 4t と sin 4t の振動になる。
Q3
きほん
2階線形微分方程式の解全体は？
かいせつ重ね合わせの原理で、y₁、y₂ が解なら C₁y₁ ＋ C₂y₂ も解——解の集合はベクトル空間になる。2階なら次元は 2 で、基底は e^(λ₁t) と e^(λ₂t) のような独立な解2本だ。
Q4
ふつう
y ＝ 3cos 2t の周期は？（πの係数で）
かいせつ周期の公式は T ＝ 2π/ω。y ＝ 3cos 2t は ω ＝ 2 だから T ＝ 2π/2 ＝ π ＝ 1π——係数は 1。2π ではないことに注意。
Q5
ふつう
特性方程式が異なる負の実数解2つのとき、解は？
かいせつ異なる負の実数解 λ₁、λ₂ なら解は C₁e^(λ₁t) ＋ C₂e^(λ₂t)——どちらも 0 へ向かう指数減衰で、虚数解がないから振動しない。摩擦の大きいばねが揺れずにじわっと止まる場合だ。
Q6
チャレンジ
y″ − 5y′ ＋ 6y ＝ 0、y(0) ＝ 3、y′(0) ＝ 7 のとき C₁（e^(2t)の係数）は？
かいせつ特性方程式 λ² − 5λ ＋ 6 ＝ 0 の解は λ ＝ 2、3 で、一般解は y ＝ C₁e^(2t) ＋ C₂e^(3t)。初期条件から C₁ ＋ C₂ ＝ 3、2C₁ ＋ 3C₂ ＝ 7——連立方程式を解いて C₁ ＝ 2、C₂ ＝ 1。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！