加法定理 — 角のたし算を分解する

sin(α ＋ β) ＝ sin α ＋ sin β …ではない！

まず悪い予想をつぶそう。sin 30° ＋ sin 60° ＝ 1/2 ＋ √3/2 ≒ 1.37。もし「sinは和をバラせる」なら sin 90° ＝ 1 になるはずだが、一致しない。sinは分配できない。正しい分解のしかたが加法定理だ。

\[\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\] \[\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\]

sinの式は「sincos ＋ cossin」とリズムで、cosの式は「coscos − sinsin」——cosだけ符号がマイナスになるのが最重要ポイント。βを−βに置きかえれば（sin(−β) ＝ −sin β、cos(−β) ＝ cos β を使って）、引き算版も自動で出る：

\[\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \qquad \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\]

なぜ成り立つ？ — 単位円と余弦定理

cos(α − β) から示すのが定石だ。単位円上に点 A(cos α, sin α) と B(cos β, sin β) をとる。角AOBは α − β。

三角形OABに余弦定理（G4）を使うと、OA ＝ OB ＝ 1 だから——

\[AB^2 = 1 + 1 - 2\cos(\alpha - \beta)\]

一方、座標から2点間の距離を直接計算すると（三平方！）——

\[AB^2 = (\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2 = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)\]

（展開して sin²＋cos² ＝ 1 を2回使った。）2つの AB² を比べれば——

\[\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \quad ∎\]

残りの3本は、この1本から置きかえだけで全部出てくる。覚えるのは仕組み、再現できるのが実力だ。

新しい角の値を作る

例1 ：sin 75° を求めよう。75° ＝ 45° ＋ 30° だから——

\[\sin 75° = \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30° = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\]

検算：√6 ≒ 2.449、√2 ≒ 1.414 → (2.449 ＋ 1.414)/4 ≒ 0.966。sin 75° は sin 90° ＝ 1 の少し手前のはず ✓

例2 ：cos 15° を求めよう。15° ＝ 45° − 30° だから——

\[\cos 15° = \cos 45°\cos 30° + \sin 45°\sin 30° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\]

sin 75° と同じ値になった！ それもそのはず、cos 15° ＝ sin(90° − 15°) ＝ sin 75°（G4の余角の公式）。別の道で同じ答えに着くのは、検算として最強だ。

よくあるまちがい

その1：cosの符号。 cos(α ＋ β) の右辺は coscos − sinsin。プラスにすると cos 90° ＝ cos(45° ＋ 45°) が 1 になってしまう（正しくは0）。迷ったら 45° ＋ 45° でチェック。

その2：sinとcosの並び順の混乱。 sin の式は「両方まざる」（sincos ＋ cossin）、cos の式は「同族どうし」（coscos、sinsin）。この対比で覚えると崩れない。

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