2倍角・半角の公式

公式は「作る」もの — β ＝ α とおく

加法定理 sin(α ＋ β) ＝ sin α cos β ＋ cos α sin β で、β ＝ α とおいてみる。

\[\sin 2\alpha = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\]

cosでも同じことをすると——

\[\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\]

これが2倍角の公式。さらに相互関係 sin²α ＋ cos²α ＝ 1 で書きかえると、cosの2倍角は3つの顔を持つ：

\[\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\]

例1 ：θは鋭角で sin θ ＝ 3/5 のとき、sin 2θ は？

まず cos θ ＝ 4/5（相互関係、鋭角なので正）。よって——

\[\sin 2\theta = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}\]

例2 ：同じ条件で cos 2θ は？

cos 2θ ＝ 1 − 2 sin²θ ＝ 1 − 18/25 ＝ 7/25。

検算：sin²2θ ＋ cos²2θ ＝ (24/25)² ＋ (7/25)² ＝ (576 ＋ 49)/625 ＝ 1 ✓（24・7・25もピタゴラス数だった！）

半角の公式 — 2倍角を逆走する

cos 2α ＝ 1 − 2sin²α を sin²α について解くと——

\[\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \qquad \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}\]

αに θ/2 を入れれば「半分の角」の公式になる。2倍角を知っていれば半角はタダでついてくる。

例3 ：sin 15° を半角の公式で求めよう（15° は 30° の半分）。

\[\sin^2 15° = \frac{1 - \cos 30°}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}\]

15°は鋭角で sin 15° ＞ 0 だから、sin 15° ＝ √(2 − √3)/2。

検算：前ステップで求めた sin 75° ≒ 0.966 と合わせて、sin²15° ＋ sin²75° ＝ sin²15° ＋ cos²15° ＝ 1 になるはず。(2 − √3)/4 ≒ 0.067、0.966² ≒ 0.933。和は 1.000 ✓

この「2乗を減らして角を2倍にする」変形（次数下げ）は、のちに三角関数の積分（A5）で主役級の働きをする。顔を覚えておこう。

よくあるまちがい

その1：sin 2θ ＝ 2 sin θ としてしまう。 2倍角は「係数が2倍」ではない。sin 60° ＝ √3/2 ≒ 0.87 と 2 sin 30° ＝ 1 は別の数だ。cos の相棒を忘れずに——sin 2θ ＝ 2 sin θ cos θ。

その2：半角で±の判断を忘れる。 sin²から sin を出すとき、角がどの象限かで符号を決める。15°は鋭角だから正——この一言を答案に書く習慣を。

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