指数を0と負の数へ広げる

2⁰ は「2を0回かける」…？

累乗の指数は「かける回数」として生まれた：2³ ＝ 2 × 2 × 2。でも「0回かける」「−1回かける」は言葉として意味をなさない。ここで数学は発想を切りかえる。

「意味」から出発するのをやめて、「法則」から出発する。

累乗には美しい法則があった（指数法則）：

\[a^m \times a^n = a^{m+n} \qquad (a^m)^n = a^{mn}\]

この法則が指数0や負の数でも成り立ち続けてほしい。そう願うと、2⁰ の値はひとつに決まってしまう。

表を左へ延長してみる

2の累乗の表を、右から左へ見てみよう。

x	3	2	1	0	−1	−2
2ˣ	8	4	2	?	?	?

左へ1つ進むごとに÷2されている（8 → 4 → 2）。この規則を続ければ——

\[2^0 = 2 ÷ 2 = 1, \qquad 2^{-1} = \frac{1}{2}, \qquad 2^{-2} = \frac{1}{4}\]

指数法則からも確かめられる。2⁰ × 2³ ＝ 2⁰⁺³ ＝ 2³ となるべきだから、2⁰ は「かけても変わらない数」——1 しかない。また 2⁻³ × 2³ ＝ 2⁰ ＝ 1 となるべきだから、2⁻³ は 2³ の逆数——1/8 しかない。

\[a^0 = 1 \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad (a ≠ 0)\]

例1 ：5⁰ ＝ 1。10⁻² ＝ 1/10² ＝ 1/100 ＝ 0.01。

例2 ：2⁵ × 2⁻³ ＝ 2⁵⁻³ ＝ 2² ＝ 4。

検算：まともに計算しても 32 × 1/8 ＝ 4 ✓ 法則は拡張後もちゃんと機能している。

例3 ：(3⁻¹)² ＝ 3⁻² ＝ 1/9。(1/3)² ＝ 1/9 と一致 ✓

負の指数は「小さい」の言葉

10⁻² ＝ 0.01、10⁻³ ＝ 0.001……負の指数は、ウイルスの大きさ（約10⁻⁷m）のようなとても小さい量を表すのにぴったりだ。大きい数の10⁵（N5の大きな数）と対になって、指数は世界のスケール全体を語れるようになった。

よくあるまちがい

その1：a⁰ ＝ 0 としてしまう。 「0回かけたら何もない ＝ 0」という直観のワナ。正しくは1（かけ算の出発点は0でなく1——×1が「何もしない」だから）。

その2：2⁻³ ＝ −8 としてしまう。 負の指数は結果を負にするのではなく、逆数にする。2⁻³ ＝ 1/8 ＞ 0。負の指数でも値はつねに正だ。

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