累乗根と分数の指数

3乗して8になる数

2乗して9になる正の数が √9 ＝ 3（平方根、N10）。同じように、3乗して8になる数を 8 の3乗根といい、³√8 と書く。2³ ＝ 8 だから ³√8 ＝ 2。

一般に、n乗するとaになる正の数を aのn乗根 ⁿ√a という（a ＞ 0 で考える）。

例1 ：³√27 ＝ 3（3³ ＝ 27）、⁴√16 ＝ 2（2⁴ ＝ 16）、⁵√32 ＝ 2（2⁵ ＝ 32）。

2^(1/2) は何者か

指数をさらに分数へ広げよう。作戦は前ステップと同じ——指数法則を守り続ける。

もし (aᵐ)ⁿ ＝ aᵐⁿ が指数 1/2 でも成り立つなら——

\[(2^{1/2})^2 = 2^{(1/2) \times 2} = 2^1 = 2\]

つまり 2^(1/2) は「2乗すると2になる正の数」——√2そのものだ。同じ理屈で——

\[a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \qquad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}\]

例2 ：8^(1/3) ＝ ³√8 ＝ 2。

例3 ：8^(2/3) ＝ (8^(1/3))² ＝ 2² ＝ 4。

順序を変えて (8²)^(1/3) ＝ ³√64 ＝ 4 でも同じ ✓ ——どの道順でも答えが一致するのは、指数法則が矛盾なく拡張できている証拠だ。

例4 ：√2 × ³√2 ＝ 2^(1/2) × 2^(1/3) ＝ 2^(1/2 ＋ 1/3) ＝ 2^(5/6)。

根号のままでは手が出ない計算が、分数の指数に直すと指数法則一発。分数のたし算（N4）が、ここで武器になる。

これで指数は 整数 → 分数（有理数）まで広がった。実は 2^√2 のような無理数の指数まで矛盾なく広げられて（厳密には極限の考えが要るので、それはA系統のずっと先で）、すべての実数xに対して aˣ が意味を持つ。次のステップで、その全体像をグラフとして眺めよう。

よくあるまちがい

その1：a^(1/n) を a/n と読む。 8^(1/3) は 8/3 ではない。指数の位置にある分数は「わり算」でなく「n乗根」の合図だ。

その2：a^(m/n) の m と n の役割の混同。 分母 n が「何乗根か」、分子 m が「何乗か」。8^(2/3) は「8の3乗根を2乗」＝ 4。逆にすると 8^(3/2) ＝ (2√2)³ でまるで別の数になる。

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