対数の定義 — 「何乗？」に名前をつける

「何乗？」に記号を与える

2ˣ ＝ 8 の解は x ＝ 3 だった。でも 2ˣ ＝ 10 だと、xは3と4の間のどこか——ぴったり書く記号が、いままでの数学にはない。そこで新しい記号を作る。

\[a^x = M \iff x = \log_a M\]

log は「ログ」と読み、a を底（てい）、M を真数（しんすう）という。logₐM ＝「aを何乗すればMになるか」。それだけのことだ。

例1 ：log₂8 ＝ ？ ——「2を何乗すれば8？」→ 2³ ＝ 8 だから 3。

例2 ：log₃81 ＝ ？ ——3⁴ ＝ 81 だから 4。

例3 ：log₁₀0.01 ＝ ？ ——10⁻² ＝ 0.01 だから −2。負の答えもふつうにありうる。

例4 ：log₅√5 ＝ ？ ——5^(1/2) ＝ √5 だから 1/2。分数の指数（前たんげん）がさっそく活躍。

すぐ出る基本値

定義から自動的に決まる値をおさえよう。

• logₐ1 ＝ 0 （a⁰ ＝ 1 だから——どんな底でも「0乗すれば1」）
• logₐa ＝ 1 （a¹ ＝ a だから）
• logₐ(aᵏ) ＝ k （定義そのもの。log₂2⁵ ＝ 5）

また、真数Mは正の数に限る。aˣ はつねに正だったから（指数関数のグラフを思い出そう）、負の数や0には「何乗してもたどり着けない」。log₂(−4) や log₂0 は定義されない。これを真数条件という。

指数の式 ⇔ 対数の式 の翻訳練習

同じ事実の2通りの表現を、自由に行き来できることが何より大事だ。

指数の式	対数の式
2⁵ ＝ 32	log₂32 ＝ 5
10³ ＝ 1000	log₁₀1000 ＝ 3
9^(1/2) ＝ 3	log₉3 ＝ 1/2

例5 ：log₄x ＝ 3 をみたす x は？ ——翻訳すると 4³ ＝ x。よって x ＝ 64。

検算：log₄64 ＝ 3 ✓（4を3乗すると64）

よくあるまちがい

その1：底と真数の取りちがえ。 log₂8 は「2を何乗すれば8」。下つきの小さい数（底）が主語だ。log₈2 ＝ 1/3 とはまるで別の数。

その2：logₐ1 ＝ 1 としてしまう。 正しくは 0。「1にするには0乗」——a⁰ ＝ 1 と対にして覚えよう。

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