対数の性質 — かけ算をたし算に変える

指数法則を対数の言葉に翻訳する

指数法則 aᵐ × aⁿ ＝ aᵐ⁺ⁿ を、対数のめがねで見直してみよう。M ＝ aᵐ、N ＝ aⁿ とおくと、m ＝ logₐM、n ＝ logₐN で——

\[MN = a^{m+n} \quad\Longrightarrow\quad \log_a MN = m + n = \log_a M + \log_a N\] \[\log_a MN = \log_a M + \log_a N\]

かけ算のlogは、logのたし算。指数の世界の「かけ算→指数のたし算」が、そのまま対数の性質になった。同じ翻訳で全部そろう：

\[\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N \qquad \log_a M^k = k\log_a M\]

例1 ：log₁₀2 ≒ 0.301 を知っているだけで——

log₁₀4 ＝ log₁₀2² ＝ 2 × 0.301 ＝ 0.602 log₁₀5 ＝ log₁₀(10/2) ＝ 1 − 0.301 ＝ 0.699

たった1つの値から、次々に対数が求まる。電卓のなかった時代、この性質が「かけ算をたし算に変える計算術」として天文学者を救った。

例2 ：log₆2 ＋ log₆3 ＝ log₆(2 × 3) ＝ log₆6 ＝ 1。

例3 ：log₂12 − log₂3 ＝ log₂(12/3) ＝ log₂4 ＝ 2。

検算：log₂12 ≒ 3.585、log₂3 ≒ 1.585。差はちょうど2 ✓

底の変換公式

底のちがう対数どうしは、そのままでは足し引きできない。そこで——

\[\log_a M = \frac{\log_c M}{\log_c a} \quad （cは1でない正の数、好きに選べる）\]

例4 ：log₄8 を底2に変換して求めよう。

\[\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}\]

検算：4^(3/2) ＝ (4^(1/2))³ ＝ 2³ ＝ 8 ✓

なぜ成り立つ？ x ＝ logₐM は aˣ ＝ M のこと。両辺の底cの対数をとると x logᶜa ＝ logᶜM（累乗の性質！）。x について解けば公式そのものだ。

よくあるまちがい

その1：logₐ(M ＋ N) ＝ logₐM ＋ logₐN としてしまう。 対数が分解するのは積であって和ではない。log₂(8 ＋ 8) ＝ log₂16 ＝ 4 だが、log₂8 ＋ log₂8 ＝ 6。まるで違う。

その2：(logₐM)ᵏ と logₐ(Mᵏ) の混同。 k倍になるのは真数の累乗 logₐ(Mᵏ) のほう。(log₂4)³ ＝ 2³ ＝ 8 と log₂(4³) ＝ 6 は別物だ。

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