平方完成とグラフの平行移動

放物線を引っこ越しさせる

y ＝ x² のグラフは原点が頂点の放物線だった（A1）。では y ＝ (x − 2)² ＋ 1 のグラフは？

表で調べてみよう。x ＝ 2 のとき (2 − 2)² ＋ 1 ＝ 1 で最小。x ＝ 1 や 3 なら 2、x ＝ 0 や 4 なら 5……。y ＝ x² とまったく同じ形のまま、頂点だけ (2, 1) に引っこ越した放物線になる。

一般に——

\[y = a(x - p)^2 + q \quad\Longrightarrow\quad 頂点 (p,\ q)、軸は直線 x = p\]

「x − 2」なのに右へ ＋2 動くのが不思議に見えるかな。y ＝ (x − 2)² は「xから2を引いてから2乗する」——つまり x ＝ 2 が、もとの x ＝ 0 の役をつとめる。だから山（谷）が右に2ずれるんだ。

a の役目は y ＝ ax² と同じ：a ＞ 0 なら下に凸（谷型）、a ＜ 0 なら上に凸（山型）、絶対値が大きいほど細い。

平方完成 — どんな式も頂点の形へ

y ＝ x² ＋ 6x ＋ 4 のような形では頂点が見えない。そこで平方完成——N10で二次方程式を解いたときの変形が、そのまま使える。

例1 ：y ＝ x² ＋ 6x ＋ 4 を頂点の形に。

手順1：xの係数6の半分の3で (x ＋ 3)² を作る。展開すると x² ＋ 6x ＋ 9——9が余計だ。

手順2：余計な9を引いて帳尻を合わせる。

\[y = (x + 3)^2 - 9 + 4 = (x + 3)^2 - 5\]

頂点は (−3, −5)。（x ＋ 3 ＝ x − (−3) だから p ＝ −3。符号に注意！）

検算：x ＝ −3 をもとの式へ。9 − 18 ＋ 4 ＝ −5 ✓

例2 ：y ＝ x² − 4x ＋ 7。

−4の半分は−2。y ＝ (x − 2)² − 4 ＋ 7 ＝ (x − 2)² ＋ 3。頂点 (2, 3)。

例3 ：y ＝ 2x² ＋ 8x ＋ 5。

a ≠ 1 のときは、まず x² の係数2で xの項までをくくる。

\[y = 2(x^2 + 4x) + 5 = 2\{(x + 2)^2 - 4\} + 5 = 2(x + 2)^2 - 3\]

頂点 (−2, −3)。かっこの外に出るとき −4 が2倍されるのがポイント。

検算：x ＝ −2 で 8 − 16 ＋ 5 ＝ −3 ✓

よくあるまちがい

その1：頂点のx座標の符号の逆転。 y ＝ (x ＋ 3)² − 5 の頂点は (3, −5) ではなく (−3, −5)。「かっこの中を0にするx」が頂点のx座標だ。

その2：くくり出しの掛け忘れ。 例3で 2(x ＋ 2)² − 4 ＋ 5 としてしまうミス。−4はかっこの中で生まれたから、外に出るときは2倍になる。検算で頂点のy座標を代入確認すれば、このミスは必ず見つかる。

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