二次関数の最大・最小

頂点は「いちばん」の場所

下に凸（a ＞ 0）の放物線は、頂点でいちばん低くなり、そこから両側へ上がっていく。つまり——

下に凸 → 頂点のy座標が最小値（最大値はない） 上に凸 → 頂点のy座標が最大値（最小値はない）

「最大値はない」に注意。下に凸の放物線は両うでがどこまでも上へ伸びるから、上限がないんだ。

例1 ：y ＝ x² − 4x ＋ 1 の最小値は？

平方完成：y ＝ (x − 2)² − 3。下に凸で頂点 (2, −3)。x ＝ 2 で最小値 −3。

最小値を答えるときは「どのxで」もセットで言うのが作法だよ。

例2 ：y ＝ −(x ＋ 1)² ＋ 5 の最大値は？

上に凸（a ＝ −1）で頂点 (−1, 5)。x ＝ −1 で最大値 5。

定義域があるとき — グラフを描いてから答える

xの動ける範囲（定義域）が決まっていると、話が変わる。A1で変域を学んだときと同じで、頂点をまたぐかどうかが急所だ。

例3 ：y ＝ (x − 3)² ＋ 1、定義域 0 ≦ x ≦ 4 の最大値と最小値は？

手順1：頂点 (3, 1) は定義域 0 ≦ x ≦ 4 の中にある → 最小値は頂点で、x ＝ 3 のとき 1。

手順2：最大値は端のどちらか。x ＝ 0 で y ＝ 10、x ＝ 4 で y ＝ 2。遠いほうの端が高い。x ＝ 0 で最大値 10。

例4 ：同じ y ＝ (x − 3)² ＋ 1 で、定義域が 4 ≦ x ≦ 6 なら？

今度は頂点 x ＝ 3 が定義域の外。域内では放物線はずっと右上がりだから、左端 x ＝ 4 で最小値 2、右端 x ＝ 6 で最大値 10。頂点が使えるとは限らない——だから必ずグラフの絵を描く。

検算：x ＝ 4 で (4−3)² ＋ 1 ＝ 2 ✓、x ＝ 6 で 9 ＋ 1 ＝ 10 ✓

最大・最小は現実の問題を解く

例5 ：長さ20mのフェンスで、壁ぎわに長方形の花だんを作る（壁の側はフェンス不要）。面積を最大にするには？

壁と垂直な辺を x とすると、壁と平行な辺は 20 − 2x。面積は——

\[S = x(20 - 2x) = -2x^2 + 20x = -2(x - 5)^2 + 50\]

上に凸で頂点 (5, 50)。x ＝ 5m のとき最大面積 50m²。二次関数は「いちばん得な選び方」を教えてくれる道具なんだ。

よくあるまちがい

その1：定義域を無視して頂点と答える。 例4のように頂点が域外なら、最小値は端で決まる。平方完成→グラフを描く→域内だけ見る、の順を守ろう。

その2：最大値と「最大になるx」の混同。 例5の答えを「最大値5」と書いたらまちがい。最大値は50（面積のほう）で、x ＝ 5 はそれを実現する場所だ。

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