一般角と弧度法（ラジアン）

角を「回転」として考える

観覧車は1周360°で止まらない。2周すれば720°、逆回りなら負の角——反時計回りを正、時計回りを負と約束して、角を「回転の量」と考え直す。これを一般角という。390°は「1周＋30°」で、向きとしては30°と同じ場所を指す。

角は、もう図形の中の量ではなく、どこまでも大きく（小さく）なれる量になった。関数の入力にふさわしい姿だ。

「度」をやめて「長さ」で測る

もうひとつの改革。360という数は古代バビロニアの暦の名残で、数学的な必然性がない。そこで円そのものに角を測らせる。

半径1の円で、角が切り取る弧の長さを、その角の大きさとする——これが弧度法、単位はラジアン。

半径1の円の1周は 2π（円周 ＝ 直径 × π——G2以来の公式）。だから——

\[360° = 2\pi \text{ ラジアン} \qquad 180° = \pi \text{ ラジアン}\]

例1 ：主要な角の変換表を自分で作ろう。180° ＝ π を基準に割り算するだけ。

度	30°	45°	60°	90°	180°	360°
ラジアン	π/6	π/4	π/3	π/2	π	2π

例2 ：120° をラジアンに。120 ＝ 180 × (2/3) だから 2π/3。

例3 ：5π/6 ラジアンを度に。π ＝ 180° だから 180 × 5/6 ＝ 150°。

検算：どの変換も「180° ＝ π」に戻して確かめられる。2π/3 ＝ π × 2/3 → 180 × 2/3 ＝ 120 ✓

ラジアンだと公式が美しくなる

半径 r、中心角 θ（ラジアン）の扇形を考える。弧の長さ ℓ は円周 2πr の θ/2π 倍だから——

\[\ell = r\theta\]

面積 S は円の面積 πr² の θ/2π 倍で——

\[S = \frac{1}{2}r^2\theta\]

度のままなら「×π/180」だらけになる式が、ラジアンなら掛け算ひとつ。単位を自然に選ぶと、公式から雑音が消える——弧度法を使う最大の理由だ（もうひとつの決定的な理由は、微分のときに明かされる）。

例4 ：半径3、中心角 π/3 の扇形。弧の長さ ℓ ＝ 3 × π/3 ＝ π。面積 S ＝ (1/2) × 9 × π/3 ＝ 3π/2。

よくあるまちがい

その1：πを「約3.14の数」としてだけ扱う。 π/6 ラジアンは「約0.52」でもあるが、三角関数では π ＝ 180° の目盛りとして分数のまま扱うほうが圧倒的に見通しがよい。

その2：ℓ ＝ rθ に度を代入する。 この公式はθがラジアンのときだけ成立。60を入れたくなったら、まず π/3 に直してから。

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