単位円と三角関数のグラフ

半円から全円へ

G4では半径1の半円で 0°〜180° の三角比を定義した。一般角を手に入れた今、制限はもういらない。まるごとの円——原点中心・半径1の単位円を使う。

角θだけ回転した単位円上の点Pの座標を、そのまま——

\[P(\cos\theta,\ \sin\theta)\]

と定義する。θは何周まわっても、負でもいい。すべての実数θに対して cos θ と sin θ が決まった——三角比はこれで晴れて関数になった。

例1 ：θ ＝ 7π/6（210°）。Pは第3象限にあり、π/6の点と原点対称。だから——

\[\sin\frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}, \qquad \cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]

第3象限ではsinもcosも負。象限ごとの符号は、暗記より「Pの座標の符号」を図で見るのが確実だ。

例2 ：θ ＝ −π/2。時計回りに90°回ると P(0, −1)。よって sin(−π/2) ＝ −1、cos(−π/2) ＝ 0。

相互関係 sin²θ ＋ cos²θ ＝ 1 は全象限で成立し続ける——Pがつねに単位円上（x² ＋ y² ＝ 1）にいるからだ。

波のグラフ

横軸にθ、縦軸に y ＝ sin θ をとってグラフを描くと——

単位円をぐるぐる回る点の高さを記録した波だ。（横軸の1目盛りは1ラジアン。x ＝ π ≒ 3.14 で波が0に戻っているのが見えるかな。）

• 値は −1 以上 1 以下を往復する
• 周期 2π ：1周回れば元どおり。すべてのθで sin(θ ＋ 2π) ＝ sin θ
• 原点について対称：sin(−θ) ＝ −sin θ

y ＝ cos θ のグラフも同じ形の波で、π/2 だけ左にずれているだけ：

\[\cos\theta = \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\]

回る点の「高さ」がsin、「横位置」がcos——同じ回転を別の向きから眺めた影だから、形が同じになるのは当然なんだ。

例3 ：y ＝ sin 2θ の周期は？ θが π 進むと 2θ は 2π 進んで1周。周期は π——「中の係数」が2倍になると、波は2倍細かくなる。

よくあるまちがい

その1：sinの値が1をこえると思ってしまう。 sin θ は単位円上の点のy座標だから、絶対に −1 ≦ sin θ ≦ 1。「sin θ ＝ 2 を解け」の答えは解なしだ。

その2：周期の混同。 y ＝ sin 2θ の周期を 4π とするミス。中の係数は周期を割る：周期 ＝ 2π/2 ＝ π。グラフを1枚描いて確かめる習慣を。

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