一次方程式の 文章題

方程式の4ステップ

文章題は次の型で攻略できる。

1. 求めたい量を x とおく（「〜を x とする」と書く）
2. 文章から等しい量の関係を見つけて、方程式を立てる
3. 方程式を解く
4. 答えが場面に合っているか確かめる（個数が負になっていないか、など）

例1 ：1本80円のえんぴつを何本かと、120円のノートを1冊買ったら、合計600円だった。えんぴつは何本？

えんぴつを x 本とする。代金の合計について、

\[80x + 120 = 600\]

移項して 80x ＝ 480、よって x ＝ 6。

確かめ：6本なら 80 × 6 ＋ 120 ＝ 600円。ぴったり合う。本数が「6本」という自然な値になっているのも OK のサインだ。

「等しい関係」をさがすコツ

方程式づくりの核心は、同じ量を2通りに表すこと。よくあるパターンを見ておこう。

例2（配りものの過不足） ：あめを1人に4個ずつ配ると3個余る。あめは全部で31個。子どもは何人？

子どもを x 人とする。あめの総数を2通りに表すと、「配った分＋余り」と「31個」が等しいから——

\[4x + 3 = 31 \quad \rightarrow \quad 4x = 28 \quad \rightarrow \quad x = 7\]

7人。確かめ：4 × 7 ＋ 3 ＝ 31 ✓

例3（年齢の問題） ：現在、母は40歳、子は12歳。母の年齢が子の3倍になるのは何年後？

x 年後とする。x 年後の母は 40 ＋ x 歳、子は 12 ＋ x 歳。「母＝子の3倍」という関係から——

\(40 + x = 3(12 + x)\) \(40 + x = 36 + 3x\) \(40 - 36 = 3x - x\) \(4 = 2x \quad \rightarrow \quad x = 2\)

2年後。確かめ：2年後は母42歳、子14歳で、42 ＝ 14 × 3 ✓

例4（速さの問題） ：兄が分速60mで家を出発し、その6分後に姉が分速90mで追いかけた。姉が追いつくのは、姉が出発してから何分後？

姉が出発してから x 分後とする。追いつくとき、2人の進んだ道のりが等しい。兄はそのとき（x ＋ 6）分歩いているから——

\(60(x + 6) = 90x\) \(60x + 360 = 90x\) \(360 = 30x \quad \rightarrow \quad x = 12\)

12分後。確かめ：兄は18分で1080m、姉は12分で1080m ✓

つるかめ算・過不足算・旅人算——昔は別々の「特殊算」として解きかたを暗記していた問題たちが、方程式というひとつの型でぜんぶ解ける。これが代数の力だよ。

解いたら場面に照らす

方程式の解がそのまま答えになるとは限らない。人数が −3 人になったら式の立てかたを疑う。「およそ7.5人」が出たら問題設定を見直す。数学の答えを現実に返す——このひと手間が文章題の仕上げだ。

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