円周角の定理

中心角と円周角

円周上の2点A、Bを結ぶ弧に対して——

• 中心角……中心Oから見た角 ∠AOB
• 円周角……円周上の点Pから見た角 ∠APB

円周角の定理：同じ弧に対する円周角は、中心角の半分である。

\[\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB\]

したがって、同じ弧に対する円周角はどこから見てもみな等しい（どれも同じ中心角の半分だから）。

証明の心臓部 — 二等辺三角形

Pと中心Oを結ぶ直線が円と交わる点をQとし、PQが中心を通る場合で考えよう。

△OPAに注目すると、OP ＝ OA（どちらも半径！）だから二等辺三角形。底角定理より ∠OPA ＝ ∠OAP。すると外角の定理（内角の和の単元のおまけ）より——

\[\angle AOQ = \angle OPA + \angle OAP = 2\angle OPA\]

同じように、△OPBから ∠BOQ ＝ 2∠OPB が得られる。

OPが∠APBの内側を通る場合は、角をたして

\[\angle AOB=\angle AOQ+\angle QOB =2\angle APO+2\angle OPB =2\angle APB\]

となる。OPが∠APBの外側を通る場合は、同じ式の「たし算」が「ひき算」になり、

\[\angle AOB=|2\angle APO-2\angle BPO|=2\angle APB\]

となる。OPが角の一方の辺と重なる場合は、片方の角を0とした境目のケースだ。これでPの位置によるすべての場合を覆えた。したがって 円周角は中心角の半分。半径が等しいことが、二等辺三角形を通して角の定理に化けたんだ。

直径は直角を作る

中心角が180°（AとBが直径の両端）のとき、円周角はその半分——

\[\angle APB = 90°\]

直径の上に立つ円周角は直角。 逆に、直角三角形の斜辺は外接円の直径になる——「外心」のたんげんで出てきた「直角三角形の外心は斜辺の中点」の種明かしがこれだ。

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