ステップ G3-7-2

内接四角形と 接線

この ページで まなぶ こと

  • 円に内接する四角形の対角の和が180°であることがわかる
  • 接線と半径の垂直、接線の長さの相等を使えるようになる

内接四角形の向かいあう角の和は180°（円周角の定理から）。接線は接点で半径と垂直、円外の1点から引いた2本の接線の長さは等しい。

円に内接する四角形

4つの頂点がすべて1つの円周上にある四角形を、円に内接する四角形という。

定理：内接四角形の向かいあう角の和は180°。

理由は円周角の定理だ。∠Aは弧BCD（Aを含まない側）に対する円周角で、その中心角の半分。∠Cは残りの弧に対する円周角で、その中心角の半分。2つの中心角をあわせると1回転（360°）だから——

\[\angle A + \angle C = \frac{360°}{2} = 180°\]

例1 ：内接四角形で∠A ＝ 95°なら、∠C ＝ 180 − 95 ＝ 85°。

接線 — 円にそっと触れる直線

円と1点だけを共有する直線を接線（せっせん）、共有点を接点というよ。

  • 接線は、接点を通る半径と垂直（もし垂直でなければ、もっと近い点があって2点で交わってしまう）
  • 円外の1点Pから引ける接線は2本あり、Pから2つの接点までの長さは等しい（直角三角形の合同「斜辺と他の1辺」——OP共通、半径どうし等しい）

例2 ：Pから円に引いた接線の接点をA、Bとすると PA ＝ PB。だから△PABはいつでも二等辺三角形だ。

自転車のタイヤと地面、コップのふちと箸——接線は身のまわりにあふれている。「半径と垂直」は、車輪がなめらかに転がれる理由でもあるんだ。

れんしゅう

Q1 きほん

円に内接する四角形で∠B ＝ 110°のとき、∠Dは何度？

°

Q2 きほん

接線と、接点を通る半径のなす角は何度？

°

Q3 ふつう

円外の点Pからの接線で PA ＝ 8cm のとき、もう1本の接線 PB は何cm？

cm

Q4 ふつう

内接四角形の定理の証明に使ったのは？

Q5 チャレンジ

内接四角形の1つの外角は、それととなり合わない内角（対角）に等しい。∠A ＝ 100°のとき、Cにおける外角は何度？

°

もっと れんしゅう

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