ステップ G3-2-3

証明の 書きかた

この ページで まなぶ こと

  • 仮定と結論を区別し、根拠つきの証明文を書けるようになる

証明は「仮定 → （根拠つきの推論）→ 結論」の一本道。図形では、合同を示してから「合同な図形の対応する辺・角は等しい」で仕上げる型が頻出。

証明文の骨格

図形の証明は、自由作文ではなく型のある文章だ。

  1. 仮定（わかっていること）と結論（示したいこと）をはっきりさせる
  2. 仮定から出発して、一歩ごとに根拠（合同条件、対頂角、平行線の性質…）を添えて進む
  3. 結論にたどり着いたら終わり

実際に書いてみる

問題：線分ABとCDがそれぞれの中点Oで交わっている。このとき AC ＝ BD であることを証明せよ。

仮定：AO ＝ BO、CO ＝ DO　結論：AC ＝ BD

証明：△AOCと△BODにおいて、

  • AO ＝ BO（仮定）
  • CO ＝ DO（仮定）
  • ∠AOC ＝ ∠BOD（対頂角は等しい）

よって、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、

\[\triangle AOC \equiv \triangle BOD\]

合同な図形の対応する辺は等しいから、AC ＝ BD。∎

型のポイント

  • 「△〇〇と△〇〇において」で始め、等しい要素を根拠つきで3つ列挙する
  • 3つそろったら合同条件の名前を宣言して ≡ を結論する
  • 最後は「合同な図形の対応する辺（角）は等しい」で目的の等式へ

対頂角の性質（自分で証明した！）が、ここでは根拠として一行で使える。一度証明したことは、以後は道具になる——数学の建築はこうして高くなっていくんだ。

れんしゅう

Q1 きほん

証明で「仮定」とは？

Q2 きほん

上の証明で∠AOC ＝ ∠BODの根拠は？

Q3 ふつう

合同を示したあと、AC ＝ BD を結論するときの決まり文句は？

Q4 ふつう

証明の中で使ってよい根拠は？

Q5 チャレンジ

合同条件を宣言して ≡ を結論する前に、証明文で必ずしておくべきことは？

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。