同位角と 錯角

2つの交点、8つの角

平行な2直線に、もう1本の直線（横断線）が交わると、交点が2つ、角が8つできる。

• 同位角（どういかく）……2つの交点で同じ位置（たとえば、どちらも右上）にある角のペア
• 錯角（さっかく）……横断線をはさんで、ななめ向かい（Z字の内側）にある角のペア

平行線の基本性質

2直線が平行ならば、同位角は等しい。（逆も成り立つ：同位角が等しければ平行）

これは証明せずに認める、この幾何の世界の出発点の約束だ（じつはこの約束こそ、2000年にわたり数学者を悩ませた「平行線公準」の親戚。深い話は大学の幾何学で）。平行線は「同じ向きにずっと進む」のだから、横断線と出会う角度も同じ——直観とも合っているね。

錯角が等しいことは証明できる

同位角とちがって、錯角のほうは証明できる。平行線で錯角∠aと∠cを考えると、∠aの対頂角∠bは∠cの同位角になっている。すると——

\[\angle a = \angle b \quad （対頂角） \qquad \angle b = \angle c \quad （平行線の同位角）\]

つなげて ∠a ＝ ∠c。平行線の錯角は等しい。∎

前のステップで証明した対頂角の性質が、さっそく部品として再利用された。証明は積み木のように積み上がっていくんだ。

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