内角の和180°の 証明

約束を果たすとき

G1章では、三角形の角をちぎって並べて「一直線になった！」と発見した。今日はそれを証明する。どんな三角形でも、例外なく、必ず180°になることを。

補助線一本の魔法

三角形ABCの頂点Aを通って、辺BCに平行な直線を引く（補助線という）。

すると、頂点Aのまわりに3つの角が一直線に並ぶ。その左の角は∠Bの錯角、右の角は∠Cの錯角だ。平行線の錯角は等しい（前ステップで証明ずみ）から——

\[\angle B + \angle A + \angle C = 一直線 = 180°\]

三角形の内角の和は180°である。∎

ちぎって並べた実験で角がぴったり一直線にそろったのは、偶然ではなかった。平行線の性質が、その裏で働いていたんだ。

外角の定理 — 便利なおまけ

三角形の1辺をのばしてできる角を外角（がいかく）という。∠Cの外角は、一直線から ∠C を引いたものだから 180° − ∠C。ここに内角の和の式を使うと——

\[外角 = 180° - \angle C = \angle A + \angle B\]

外角は、となり合わない2つの内角の和に等しい。 証明した定理から、次の定理が数行で出てくる——積み木がまた一段高くなった。

例 ：∠A ＝ 50°、∠B ＝ 60° の三角形で、∠Cの外角は 50 ＋ 60 ＝ 110°（∠C ＝ 70°を経由しなくても一発）。

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