ステップ G3-5-3

面積比と体積比

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相似比が m : n なら、面積比は m² : n²、体積比は m³ : n³。長さ→面積→体積で、比の指数が増えていく。

G2章の拡大図でちらりと見た現象を、きちんと定理にしよう。

相似比が m : n の2つの図形で——

\[面積比 = m^2 : n^2\]

理由は単純だ。面積は「たて × よこ」のように長さを2回かけてできている。どちらの長さも n/m 倍になれば、面積は (n/m)² 倍になる。

例1 ：相似比 1 : 3 の三角形の面積比は 1 : 9。小さいほうが 5cm² なら、大きいほうは 45cm²。

相似な立体（形が同じで大きさ違い）では、体積は「たて × よこ × 高さ」——長さを3回かけるから、

\[体積比 = m^3 : n^3\]

例2 ：相似比 1 : 2 の立体の体積比は 1 : 8。1辺2cmの立方体（8cm³）と1辺4cmの立方体（64cm³）で確かめられる（G2章「体積」の練習問題にも登場した現象だね）。

「2倍サイズのピザ」は面積4倍、「2倍サイズのぬいぐるみ」は材料8倍。長さの比を安易に面積や体積にあてはめない——買い物にも効く数学的な直感だ。表にまとめておこう。

相似比	1:2	1:3	2:3
面積比	1:4	1:9	4:9
体積比	1:8	1:27	8:27

Q1 きほん

相似比 1 : 4 の図形の面積比は 1 : □。□は？

Q2 きほん

相似比 2 : 3 の図形の面積比は 4 : □。□は？

Q3 ふつう

相似比 1 : 2 の立体の体積比は 1 : □。□は？

Q4 ふつう

相似比 1 : 3 で、小さい図形の面積が 6cm² のとき、大きい図形の面積は何cm²？

cm²

Q5 チャレンジ

相似比 2 : 3 の立体で、大きいほうの体積が 54cm³ のとき、小さいほうは何cm³？

cm³

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